Введение
Современные методы расчета подшипников качения основаны на теориях Герца и Палмгрена – Лундберга, представленных в работах по их модернизации [1, 2], широко используются для различных прикладных применений и заложены в основу современных стандартов, например ISO 281:2007 [3]. Однако, как подтверждают результаты исследований [4–6], с ростом скоростей вращения в авиационных, энергетических и других ответственных агрегатах традиционно считавшиеся второстепенными инерционные и центробежные эффекты начинают доминировать, приводя к существенному перераспределению нагрузок в телах качения.
Согласно исследованию тел качения и верчения в работах [7, 8], инерционные поправки в подшипниках можно интерпретировать не как изолированные силовые факторы, а как проявление общей нелинейной динамики системы «тело качения – дорожка – смазочный слой», где сухое трение и эффект Стрибека (выявленные в экспериментах с волчком) играют критическую роль наряду с центробежными силами.
Существующие комплексные динамические модели [9–11], хотя и учитывают эти факторы, зачастую слишком громоздки для инженерного прогнозирования ресурса в условиях изменяющихся режимов работы. В связи с этим актуальной является задача разработки адаптированной методики расчета, которая, базируясь на классическом подходе [1–3], интегрировала бы поправки на инерционную нагрузку, изменение трения и теплового режима, оставаясь удобной для практического применения.
Целью настоящей работы является разработка и верификация модифицированной методики расчета ресурса высокоскоростных шарикоподшипников, основанной на комплексном учете инерционных возмущений и нелинейных эффектов трения, аналогичных выявленным при исследовании динамики роторных систем.
Материалы и методы исследования
В рамках исследования была разработана и применена усовершенствованная методика расчета контактных напряжений, трения и долговечности шарикоподшипников, работающих в условиях высоких скоростей вращения, с учетом инерционных и центробежных эффектов. Методика построена на модификации классической теории контактных напряжений Герца и ее модификации, основанной на ранее проведенных экспериментальных исследованиях [7, 8].
Верификация предложенной модифицированной методики и численные расчеты выполнены для типового представителя высокоскоростных подшипников качения – шарикоподшипника радиального однорядного № 206 (ГОСТ 8338-75), масса тела качения mi = 0,01 кг, радиус дорожки качения наружного кольца R = 30 мм, количество тел качения Z = 9, номинальная угловая скорость ωном = 300 рад/с. Выбор данного типоразмера обусловлен его широким применением в судовых вспомогательных механизмах.
Контактные напряжения и критическая угловая скорость определялись с учетом динамических поправок. Для прогнозирования ресурса была модифицирована стандартная формула ISO 281:2007 путем введения трех корректирующих коэффициентов, учитывающих инерционную нагрузку, скорость и инерционное давление. Адаптация модели к конкретным условиям обеспечивалась процедурой экспериментальной корректировки коэффициентов. Значимость инерционных эффектов подтверждена сравнительным анализом с классическими методами в широком диапазоне скоростей вращения.
Математическая модель
Расчет контактных напряжений в точке контакта может быть проведен согласно теории Герца [1]. Для этого выведена эквивалентная нагрузка в точке контакта тела качения с учетом инерционной нагрузки:
где X, Y – коэффициенты преобразования радиальной и осевой нагрузки в эквивалентную; Fr, Fa – радиальная и осевая нагрузки, Н; mi – масса тела качения, кг; Ri – текущий радиус вращения, м; ω – угловая скорость, рад/с; ωном – номинальная угловая скорость, рад/с; vотн – относительная скорость тела качения, м/с; kинерц – коэффициент инерционности.
Уточненная модель учитывает трение качения с учетом вязкой составляющей по смазке и эффект Стрибека по [7], а также инерционные нагрузки:
где ξкач, ξвяз, ξстриб, ξинерц – коэффициенты трения качения, трения вязкого в смазке, трения от эффекта Стрибека и трения от инерционных нагрузок;
– приведенный радиус кривизны; β1, β2 – экспериментальные коэффициенты адаптации под конкретные условия работы; hmin – минимальная толщина смазывающей пленки; v – скорость окружная, м/с; Ф – режим работы подшипника относительно критической угловой скорости; αs = 0,028, βs = 0,012 с/рад, γs = 3,5 · 10−10 м²/Н – коэффициенты поправочные экспериментальные; Ac – площадь контакта по Герцу, м2; Id – момент инерции шарика; δ – коэффициент динамичности.
Контактные напряжения получены с учетом инерционных поправок и на основании (1), (2):
где Φраспр – коэффициент распределения; ε – полный эллиптический интеграл второго рода; 
– приведенный модуль Юнга; k = a/b – параметр эллиптического контакта.
В стадии эллиптического контакта наблюдается максимальная диссипация и износ, что также выносит вопрос о расчете критических параметров, прежде всего критической угловой скорости:
где ωкрит0 – базовая критическая угловая скорость без учета инерционных поправок, рад/с; km – критерий влияния массы; kξ – критерий влияния трения.
Мощность трения с учетом (1)–(4) может быть получена с целью необходимости теплового расчета подшипника:
где Zэфф = 0,9Z – эффективное число тел качения; αтепл – коэффициент теплоотдачи охлаждающей поверхности, Вт/(м2 · К); Аохл – площадь охлаждаемой поверхности, м2; αинтенс – коэффициент интенсификации теплообмена.
Вязкостно-температурная зависимость при этом имеет вид:
На основании полученных результатов может быть спрогнозирован ресурс подшипника и коэффициент надежности, по ISO 281:2007 [3]:
где k1 – коэффициент инерционной нагрузки; k2 – коэффициент скорости; k3 – коэффициент инерционного давления; k4 – коэффициент трения (изменение режима смазки и рост потерь):
где α1, α2, α3, α4 – калибровочные коэффициенты.
Выбор мультипликативной формы для (5) для корректирующих коэффициентов k1, k2 и k3 обусловлен предположением о независимости влияния рассматриваемых физических факторов (инерционной нагрузки, скорости вращения и инерционного давления) на ресурс подшипника. Центробежные силы (учитываемые k1), диссипация энергии (k2), контактное давление (k3) и изменение режима смазки (k4) представляют собой независимые физические механизмы, каждый из которых вносит свой вклад в повреждаемость материала. В рамках линейной механики накопления повреждений (гипотеза Палмгрена – Майнера) итоговый ресурс определяется произведением поправок, что подтверждается структурой стандартной формулы ISO 281:2007. Альтернативные формы связи (например, аддитивная) не имеют физического обоснования для данного набора факторов, т. к. отсутствие одного из них обнуляет ресурс, что адекватно отражает реальность (приближение любого из коэффициентов к нулю показывает невозможность работы подшипника).
Для адаптации модели под конкретный расчет требуется экспериментальная корректировка коэффициентов для учета влияния возмущений. Корректировка коэффициентов имеет вид:
где αi – коэффициент чувствительности (или весовой коэффициент) для i-го параметра; Dэксп – экспериментально измеренное значение параметра; Dтеор – теоретическое значение параметра, под параметром в первую очередь понимается отклонение деформации тела качения.
Сравнение с классической теорией и значимость в подшипниках разного масштаба приведено на рис. 1; влияние инерционных поправок на реальный ресурс подшипника и влияние каждого фактора – на рис. 2.
Рис. 1. Сравнение модернизированного расчета с классическим (а) и влияние массы подшипника по сериям (б) (масса тел качения по отношению к подшипнику № 206 по сериям: легкая – 0,1; средняя облегченная – 0,5; средняя базовая – 1,0; тяжелая – 2,0; особо тяжелая – 5,0)
Fig. 1. Comparison of the upgraded calculation with the classical one (a) and the bearing mass effect by series (б) (mass of rolling elements in relation to bearing No. 206 by series: light – 0.1; medium-light – 0.5; average basic – 1.0; severe – 2.0; especially severe – 5.0)
Анализ представленных графиков подтверждает, что инерционные эффекты, традиционно считавшиеся второстепенными, становятся доминирующим фактором, определяющим долговечность узла на высоких частотах вращения. Уже при превышении скорости в 70 % от номинальной (ω > 0,7ωном) классические методы расчета, такие как формула Палмгрена, начинают систематически и существенно завышать прогнозируемый ресурс, что может привести к неожиданным отказам ответственных механизмов.
На представленном графике (рис. 2, а) четко выделяются три зоны безопасности, определяемые отношением рабочей скорости к номинальной. Безопасная зона (ω < 0,7ωном) характеризуется плавным снижением ресурса и минимальным влиянием инерции. Рисковая зона (0,7 ≤ ω / ωном < 1,3) демонстрирует резкое, почти линейное падение кривой, где ресурс сокращается с 85 до 40 %. Именно здесь центробежные силы и инерция давления начинают кардинально перераспределять нагрузки в контакте. Критическая зона (ω ≥ 1,3ωном) отмечена катастрофическим спадом кривой, где при скорости в 1,5 раза выше номинальной сохраняется менее половины (около 40–45 %) от расчетного ресурса, а при двукратном превышении – лишь 10 %.
Падение ресурса объясняется не одним, а совокупностью четырех физических механизмов, действующих по мультипликативному закону. Наиболее значимым является влияние центробежных сил (компонент k1), которые увеличивают радиальную нагрузку на наружное кольцо. Скоростная поправка (k2) отражает рост диссипации энергии, а инерция давления (k3) приводит к росту контактных напряжений в зоне взаимодействия тел качения с дорожкой. Наконец, компонент трения (k4) учитывает изменение режима смазки и рост потерь. Их синергетическое взаимодействие приводит к тому, что даже при номинальной скорости совокупный поправочный коэффициент составляет около 0,75.
Рис. 2. Влияние инерционных поправок на ресурс подшипника (а) и на ресурс каждого компонента (б)
Fig. 2. The effect of inertial corrections on the bearing life (a) and on the life of each component (б)
Заключение
Проведенное исследование подтвердило, что инерционные и центробежные эффекты становятся основным фактором, определяющим долговечность подшипников качения при высоких скоростях вращения, что особенно актуально для судовых энергетических установок, работающих в экстремальных условиях. Пренебрежение этими эффектами, как доказало сравнение с классической моделью, ведет к завышению расчетного ресурса – на 25 % на номинальном режиме и до 400 % при двукратном превышении скорости.
Внедрение предложенных трех корректирующих коэффициентов (инерционной нагрузки, скорости и инерционного давления) в расчетную формулу ISO 281:2007 обеспечивает переход от эмпирических оценок к физически обоснованному прогнозированию надежности. Выделение трех зон безопасности (безопасной, рисковой и критической) на основе отношения рабочей скорости к номинальной дает инструмент для оценки состояния подшипниковых узлов и планирования периодического ремонта.
Разработанная методика, учитывающая комбинированное влияние центробежных сил, роста диссипации энергии, увеличения контактных напряжений и изменения режима смазки, позволяет прогнозировать ресурс высокоскоростных подшипников в составе судовых редукторов, турбогенераторов, насосных агрегатов и других ответственных механизмов. Это способствует повышению общей надежности судовых установок, оптимизации межремонтных интервалов и снижению рисков отказов. Дальнейшие исследования могут быть направлены на адаптацию модели к конкретным типам подшипников и условиям их работы в составе судовых систем с учетом нагрузок, характерных для морской эксплуатации.
