ВведениеВ настоящее время стремительно увеличивается темп развития отраслей тяжелой промышленности, в связи с этим возрастает роль применения различных электротермических установок и печей. В металлургии наиболее широкое распространение получили индукционные нагревательные установки, которые применяются для таких технологических операций, как плавка металла, пайка, отжиг, штамповка и прокатка, поверхностная и глубокая закалка металла. Подобное широкое применение индукционных печей обуславливается рядом преимуществ перед другими видами нагрева: большая скорость нагрева, уменьшение образования окалины, малые габариты нагревательных установок, отсутствие необходимости предварительного разогрева печи, высокая экологичность процесса нагрева, обусловленная отсутствием продуктов сгорания. Развитие отраслей тяжелой промышленности приводит к необходимости повышения экономической эффективности производственных процессов, как правило, достигаемого за счет ужесточения требований к конечному состоянию полуфабриката. Указанная проблема может быть решена с помощью оптимизации конструктивных характеристик или режимов работы индукционного нагревателя по соответствующим критериям качества. Решение задачи оптимального управления возможно только при наличии полной информации об объекте. Однако в технологических процессах термообработки ряд параметров оказывается известен только с точностью до возможных диапазонов их изменения, что обуславливает необходимость установления их конкретных значений. В работе рассматривается решение задачи параметрической идентификации коэффициентов теплообмена с поверхности стальной детали на основе экспериментальных данных, полученных на лабораторной нагревательной установке, на базе численной модели, построенной в пакете Altair FLUX. Установленные значения параметров используются при решении задачи оптимального по быстродействию управления в условиях наличия фазового ограничения на максимальную температуру поверхности обрабатываемой детали. Параметрическая идентификация процесса индукционного нагреваВ работе рассматривается лабораторная установка для сквозного индукционного нагрева цилиндрических деталей из стали С40 [1, 2], сконструированная в Институте электротехнологий Университета им. Лейбница (г. Ганновер) (рис. 1, а).                                                                               а                                                                               б  Рис. 1. Лабораторная нагревательная установка: а – общий вид; б – места установки термопар:1 (0; 0); 2 (–11; 0); 3 (0; 22); 4 (23; 23); 5 (44; 0) Fig. 1. Laboratory heating installation: a – general view; б – location of thermocouples:1 (0; 0); 2 (–11; 0); 3 (0; 22); 4 (23; 23); 5 (44; 0) Для контроля температуры на глубине 25 мм от торца заготовки установлено 5 хромель-алюмелевых термопар (см. рис. 1, б). Основные геометрические параметры установки приведены в табл. 1. Таблица 1Table 1Основные параметры индукционной нагревательной системыMain parameters of induction heating systemПараметрЗначениеДлина индуктора, м0,08Количество витков индуктора, шт.5Радиус заготовки R, м0,05Длина заготовки L, м0,095Расстояние между индуктором и заготовкой H, м0,005Расстояние между витками индуктора h, м0,005Геометрические размеры витка индуктора A × B, м0,006 × 0,012Материал заготовкиСталь (С40)Частота питающего тока f, кГц125Температура окружающей среды Токр, °С25  Как уже было отмечено, для решения задачи оптимального управления указанным объектом необходимо иметь полную информацию о его характеристиках, включая коэффициенты теплообмена αконв, αизл с поверхности детали. Конструкция экспериментальной установки предполагает управление мощностью генератора, поэтому конкретное значение напряжения U источника питания также является неизвестным.Восстановление искомых коэффициентов проводится на основе решения обратной задачи индукционного нагрева [3, 4]. В ее постановке полагается, что значения идентифицируемых параметров неизвестны, и их требуется установить на основе дополнительной информации о температурном распределении, полученной на интервале идентификации в одной точке термометрирования с координатами (44; 0), соответствующих термопаре № 5 на рис. 1, б. Выбор этой термопары объясняется максимальной ее близостью к боковой поверхности изделия.Для поиска искомых коэффициентов был применен метод параметрической оптимизации, позволяющий восстанавливать неизвестные величины на множествах физически реализуемых достаточно гладких функций, что обосновано физической сущностью процесса.Поскольку поиск искомых коэффициентов проводился на множестве постоянных функций, вектор идентифицируемых параметров имеет следующий вид:  .Параметризованное представление температурного поля, зависящего от искомых коэффициентов, используется в двумерной численной модели процесса, построенной в пакете Altair FLUX. Подробно процесс построения модели описан в [5–7]. Общий вид FLUX-модели со сгенерированной конечно-элементной сеткой показан на рис. 2. Рис. 2. Геометрия нагревательной системыс конечно-элементной сеткой в Altair FLUX Fig. 2. Geometry of heating systemwith finite-element mesh in Altair FLUX Построенная FLUX-модель используется для численного моделирования температурной кривой   на том же интервале идентификации  в точке с пространственными координатами x* = 44 мм, y* = 0 мм. Формулируется задача оптимального управления с минимаксным критерием оптимальности при оценивании температурной невязки между экспериментальными данными и модельной реализацией в равномерной метрике:    (1)Таким образом, задача параметрической идентификации предусматривает поиск такого вектора параметров , обеспечивающего восстановление искомых коэффициентов на априори заданных классах решения, при котором достигается минимаксное значение критерия оптимальности (1).Решение сформулированной задачи получено с помощью альтернансного метода, который позволяет свести искомую задачу к системе трансцендентных уравнений, замкнутых относительно всех неизвестных параметров процесса [8, 9]. В рассматриваемом случае вектор  содержит 3 параметра, что, согласно теории метода, соответствует 4-м точкам с максимальным отклонением кривой   от данных эксперимента T*(t). Поскольку моменты времени tj, в которые достигаются указанные отклонения, заранее неизвестны, система уравнений дополняется необходимыми условиями экстремума в них.Таким образом, искомая система уравнений альтернансного метода имеет следующий вид:    (2)где величина   соответствует минимальному абсолютному отклонению модельной температуры от экспериментальной, достижимому в классе задач с тремя искомыми параметрами. Указанная система из 8 уравнений оказывается замкнутой относительно всех неизвестных параметров, к которым относятся три компоненты вектора , величина  , а также неизвестные моменты времени  . В результате численного решения системы уравнений (2) были получены следующие результаты (табл. 2). Таблица 2Table 2Результаты параметрической идентификацииResults of parametric identificationПараметрЗначениеКонвективный коэффициент теплообмена αконв, Вт/м2∙°С70Коэффициент теплообмена излучением αизл, Вт/м2∙°С4 0,66Напряжение источника питания, В175  Кривая отклонения   температуры,  полученной  в  численной  модели  FLUX,от экспериментальных данных показана на рис. 3..   Рис. 3. Кривая температурного отклонения   после идентификации неизвестных параметров Fig. 3. Temperature deviation   curve after parameters identification  Из анализа результатов следует, что величина предельного отклонения модельной температуры от экспериментальных данных   составляет не более 1 % от максимальной температуры нагрева заготовки.Полученное значение конвективного коэффициента теплообмена αконв = 70 Вт/м2·ºС на интервале изменения температуры от 25 до 600 °С для типовой углеродистой стали является удовлетворительным [8, 9]. Значение коэффициента теплообмена излучением αизд = 0,66 Вт/м2·ºС4, согласно справочным данным, также является удовлетворительным для стали. Постановка и решение задачи оптимального по быстродействию управления с ограничением на максимальную температуру деталиНайденные в предыдущем разделе параметры использовались для формулировки задачи оптимального по быстродействию управления. В общем виде для рассматриваемой осесимметричной системы математическая модель процесса сквозного индукционного нагрева может быть представлена в виде уравнений Максвелла и Фурье [8, 9]:                                                            где   – вектор напряженности магнитного поля; σ – электропроводность;  – вектор напряженности электрического поля;    – вектор плотности магнитного потока; t – время; T – температура; с(Т) – удельная теплоемкость; γ(Т) – плотность; λ(t) – коэффициент теплопроводности; r – радиальная координата; l – продольная координата;   L – длина; R – радиус; tк – время окончания нагрева, с краевыми условиями                                              (8)  где Т0 – начальная температура; Токр – температура окружающей среды.В качестве управляющего воздействия рассматривается сосредоточенное управляющее воздействие по напряжению на источнике питания u(t).На управляющее воздействие накладывается ограничение в следующем виде:                                                         (9)Согласно требованиям, предъявляемым к технологическим процессам нагрева перед дальнейшей обработкой металла давлением, температура в конце процесса для стальных заготовок должна составлять 1 200 °C с температурным перепадом между центром и поверхностью заготовки не более ±50 °С [1, 2]. Контроль конечной температуры производится вдоль центрального поперечного сечения нагреваемой заготовки. Тогда требование к конечному состоянию для данной двумерной задачи может быть записано в форме                                     (10)где l2 = 47,5 мм – середина продольного сечения детали; требуемая температура Tк = 1 200 °С; ε0 – максимальное отклонение температуры от заданного значения.В производственных рамках, как правило, индукционный нагрев является лишь частью целого технологического процесса. Например, как отмечалось ранее, данный вид нагрева широко используется в технологических комплексах пластической деформации, в так называемых комплексах «печь – пресс».Одним из важных показателей, характеризующих производственный процесс, является производительность. Поскольку производительность индукционного нагревателя влияет на производительность всего технологического процесса, в качестве критерия оптимальности может выступать критерий быстродействия:                                                     (11)В ряде случаев из-за интенсивного нагрева с высокой мощностью, характерного для процессов сквозного индукционного нагрева, на поверхности детали могут наблюдаться значительные превышения предельно допустимых значений температуры, обусловленных физической природой процесса.В этих случаях задача оптимального управления формулируется с учетом фазового ограничения на максимальную температуру поверхности заготовки, которое записывается в следующем виде:           (12)где Тдоп – максимально допустимая температура нагрева.Таким образом, рассматриваемая задача оптимального управления состоит в определении сосредоточенного управляющего воздействия u(t), стесненного ограничением (9), которое бы обеспечивало перевод объекта (3)–(7) из заданного начального состояния (8) в требуемое конечное (10) с минимальным значением критерия оптимальности (11)с учетом фазового ограничения на максимальную температуру (12).Решение сформулированной задачи было получено с помощью альтернансного метода. Согласно нему доказано, что оптимальное управление по критерию быстродействия представляет собой релейную функцию времени, попеременно принимающую свои предельно допустимые, согласно (9), значения. Причем количество интервалов постоянства однозначно определяет число точек с максимальным отклонением температуры по радиальному сечению детали от требуемого значения. Однако, как указано в [10], подобный характер управления не обеспечивает выполнения фазового ограничения (12). Для обеспечения его выполнения в программу управления включают особый интервал движения по ограничению, после чего управляющее воздействие принимает следующий вид:  (13)где umax – предельно допустимое значение напряжения; uT(t) – управляющее воздействие на участке стабилизации (участке движения по ограничению); N – число интервалов управления; Δj – длительности интервалов постоянства управляющего воздействия; t1 – время выхода на ограничение.Как указано в [8–10], как правило, максимальные отклонения температуры  , соответствующие двум и трем интервалам постоянства управляющего воздействия, удовлетворяют технологическим требованиям сквозного индукционного нагрева, без существенного роста точности при дальнейшем увеличении количества интервалов.В связи с этим сформулированная задача решается для случая  . Тогда выражение (13) может быть переписано в видеЕсли длительность стадии нагрева заготовки существенна, вид управляющего воздействия на участке движения по ограничению представляет собой кусочно-постоянную функцию времени (рис. 4). Рис. 4. Аппроксимация управляющего воздействия uT(t) на участке движения по ограничению:Δt – величина шага по времени; u(m) – напряжение на m-м временном шаге; t(m) – m-й момент времени;Δ1 – длительность участка движения по ограничению Fig. 4. Approximation of control action uT(t) on the restricted traffic section: Δt – time step value; u(m) – voltage on m-th time step; t(m) – m-th time step; Δ1 – duration of holding stage Подобная аппроксимация управляющего воздействия uT(t) на участке движения по ограничению сводится к итерационной процедуре поиска на каждом шаге ∆t такого значения напряжения u(m),  , которое бы обеспечивало равенство Tmax(t) = Tдоп в моменты времени t(1), t(2), ..., t(m), где t(m) = t1 + m · ∆t.Указанному значению   согласно теории альтернансного метода, соответствует температурное распределение по радиальному сечению детали, имеющее 3 точки   с максимальным отклонением температуры от требуемой (рис. 5). Рис. 5. Форма кривой температурного распределения для отклонения Fig. 5. The shape of the temperature distribution curve for deviation   Система уравнений, соответствующая указанной кривой, записывается в следующем виде [11, 12]:    (14)где   – координаты точек с максимальным отклонением температуры от требуемого значения;  – коэффициент, задающий порядок знакочередования отклонений.В результате численного расчета двумерной FLUX-модели было получено результирующее температурное распределение по радиусу цилиндрической заготовки T(r, l2, t) (рис. 6), являющееся решением системы уравнений (14).Рис. 6. Результирующее распределение температуры по радиальному сечению заготовки Fig. 6. Final temperature distribution along the radial cross-section of the workpiece  Результаты решения задачи оптимального по критерию быстродействия с учетом  технологичес-кого ограничения представлены в табл. 3. Таблица 3Table 3Результаты решения задачи оптимального быстродействия с учетом технологического ограниченияResults of solving the optimal performance problem taking into account technological limitationsПараметрЗначениеМаксимальное температурное отклонение , °С32Длительность t1 участка нагрева при максимальном напряжении umax, с39,2Момент окончания участка движения по ограничению ∆1, с110,8Момент окончания участка выравнивания температуры ∆2, с124,1  Вид оптимального по быстродействию управления по  напряжению  на  источнике  питания  индуктора представлен на рис. 7. Рис. 7. График изменения напряжения в процессе термической обработки заготовки Fig. 7. Graph of voltage changes during heat treatment of the workpiece  График изменения температуры заготовки в течение всего процесса термической обработки в индукционной нагревательной системе показан на рис. 8.   Рис. 8. График изменения температуры заготовки в процессе термической обработки:1 – температура в центре заготовки; 2 – температура на поверхности заготовки;3 – максимальная температура заготовки Fig. 8. Graph of  workpiece temperature changing during heat treatment:1 – temperature of a core; 2 – temperature on the surface; 3 – maximal temperature  Из анализа графика следует, что максимальная температура на всем временном интервале не превышает 1 300 °С, что подтверждает выполнение фазового ограничения (12). ЗаключениеВ работе рассмотрено применение альтернансного метода для получения полной информации об объекте управления, в качестве которого рассматривается процесс сквозного индукционного нагрева в лабораторной установке. Дальнейшее решение задачи оптимального управления по напряжению источника питания позволило повысить производительность рассматриваемого процесса за счет сокращения времени нагрева в условиях отсутствия локальных перегревов по радиальному сечению детали.