ВведениеПроизводительность сил H траловой системы (ТС) напрямую зависит от работы, выполненной этими силами. Механическая работа ТС – физическая величина, зависящая от силы (гидродинамической, растяжения, сжатия и др.) и перемещения. Термодинамическая работа – количество энергии, переданной или полученной ТС путем изменения ее внешних параметров. Также существует работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую.Математическое моделирование производительности сил ТС рассматривается как совокупность математических моделей процессов, протекающих в ТС и ее элементах, а также в промысловых механизмах, которые размещены на палубе рыбопромыслового судна [1–4]. Производительность сил гидробионтов не рассматривается, т. к. это задача на порядок сложнее.Математическое моделирование – ответственная научная задача, имеющая общее фундаментальное значение, и его нужно рассматривать только как базу для решения для главной задачи – проектирования ТС. Математическое моделирование ТС состоит в описании законов природы, в отыскании теоретических методов исследования и разрешения различных проблем и, наконец, в получении систематических материалов, приемов, правил и рекомендаций для решения конкретных практических задач.Запишем постулаты относительно производи-тельности сил ТС. Запишем связь производительности сил Н и сил (первый и второй постулаты), действующих в точках ТС (рис. 1). Рис. 1. Разноглубинный трал: КВИ – канатно-веревочные изделияFig. 1. Midwater trawl: КВИ – rope-rope products Постулат 1. Дифференциальный закон движения описывает взаимосвязь между приложенным к материальной точке квадратом силы и получающейся от этого производительностью сил этой точки. Постулат 2. Производительность сил, действующих на материальную точку, равна второй производной работы этих сил по времени.Постулат 3. Производительность системы сил разной природы, действующих на систему, состоящая из материальных точек, называется производительностью сил системы (технической, биологической и др.): (1)где H – производительность сил ТС [H2/кг]; A – работа ТС; T – сила ТС; t – время процесса; m – масса ТС.Создание единой базы данных по канатно-веревочным изделиям (КВИ) и нитевидным материалам, а также по стальным канатам (СК) является приоритетной задачей для выполнения процедур проектирования ТС. Отметим, что СК и КВИ являются анизотропными телами, и в этом случае их конструктивные, геометрические и силовые характеристики в продольном и поперечном сечениях различные.В статье рассмотрен пример растяжения идеально гибких СК и КВИ. Не учитывались такие конструктивные параметры, как свивка, количество прядей, толщина проволоки и волокна, тип плетения.Постановка задачиРассмотрим задачу удлинения идеально гибких СК ТС (ваера, лапки траловых досок, кабели, голые концы, подборы) и КВИ (канатные связи, элементы сетных пластин). Необходимо понимать важные проблемы удлинения и растяжения СК и КВИ. При удлинении СК и КВИ изменяется их длина и диаметр, и, соответственно, изменяется гидродинамический коэффициент сопротивления канатно-сетной оболочки трала [4, 5]. Но помимо изменения гидродинамического сопротивления траловой оболочки увеличивается износ СК и КВИ. Износ СК и КВИ, а точнее, уменьшение его числового значения, является важной составляющей эксплуатации ТС. Износ влияет на производительность сил ТС.МетодыКоэффициент Пуассона μ для материала СК и КВИ представим в виде , (2)где ε – относительная продольная деформация; εd – относительная поперечная деформация; Δd – приращение диаметра; d – диаметр изделия; L – длина изделия; ΔL – приращение длины. Конструктивное удлинение СК и КВИ λ (конструктивный параметр) , (3)причем относительная площадь сетного полотна Fo, из которого изготавливают на фабриках сетные пластины для тралов, составляет , (4)где a – шаг ячеи; ux – характеристика формы ячеи по оси OX; uy – характеристика формы ячеи по оси OY.При большом значении радиуса кривизны (раскрытие канатно-сетной оболочки трала) можем применить для ux и uy выражение . Выражение (4) с учетом (3) перепишем для сетных пластин . (5)На основании [7] рассмотрим работу, которая совершается при удлинении СК и КВИ ТС:dA = Tdx,где T – продольная сила (сила натяжения) СК и КВИ; d(x) = d(ΔL) – изменение ΔL.Так как СК и КВИ имеют в сечении (рис. 2) условную окружность, то примем, что ось OZ совпадает при вращении СК и КВИ, тогда , (6)где Ax – работа силы растяжения СК и КВИ в продольном направлении, оси OX; Ay – работа силы «сжатия» СК и КВИ в поперечном направлении, оси OY; Tx – натяжение СК и КВИ в про-дольном направлении, оси OX; Ty – натяжение СК и КВИ в поперечном направлении, оси OY (условные силы); d(y) = d(Δd) – уменьшение Δd – приращение диаметра. Рис. 2. СК и КВИ при растяженииFig. 2. WC and RW under tension Рассматривая СК и КВИ при растяжении, сделаем допущение: работа силы растяжения в продольном направлении Ax является истинной работой, а работа силы «сжатия» в поперечном направлении Ay является условной, т. к. она зависит только от продольных сил и характеристик материала СК и КВИ. Причем, если сжимать СК и КВИ в поперечном сечении, то невозможно добиться изменения их длины на ε, это обусловлено анизотропностью материала, также можно рассмотреть пример растяжения СК и КВИ в поперечном сечении [7]. В этой связи прини-маем, что натяжение СК и КВИ в поперечном направлении Ty тоже условная сжимающая сила.Продифференцируем (6) по t два раза: (7)исходя из (1) и (7), а также определения уско-рения wx = d2x/dt2 и wy = d2y/dt2, получаем (8)где Hx – производительность продольных сил СК и КВИ; Hy – производительность условных поперечных сил СК и КВИ. Разделив первое уравнение (8) на второе с учетом (3), получим , (9)где α – безразмерное сужение КВИ или СК, или при малых α, . (10)Безразмерное уравнение (9) характеризует прямую пропорциональность отношения производительности сил, направленных перпендикулярно друг другу, к силам, направленным в данных направлениях.Для реальных рыболовных КВИ и СК отношение Δd/ΔL мало, т. к. длина СК и КВИ превосходит их диаметр в несколько раз. Тогда . (11)Введем допущение, что для анизотропного тела коэффициент Пуассона (2) с учетом (14) равен . (12)Таким образом, выражение (12) характеризует связь коэффициента Пуассона μ, который зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлены стальные проволоки СК и волокна КВИ, безразмерного сужения α и конструктивного удлинения λ. Запишем второе уравнение системы (1) в виде (масса m СК и КВИ остается без изменений) (13)и приравняем правые части (10) и (13): , или , (14)а на основании (13) . (15)Согласно (12), (14) и (15) коэффициент Пуассона представим в виде , (16)или (17)Выражение (17) характеризует прямую пропорциональность отношения производительности сил, направленных перпендикулярно друг другу, к квадрату отношения коэффициента Пуассона СК и КВИ к конструктивному удлинению.Для сетных пластин трала получим выражение, с учетом (5), .Из (17) выразим производительность сил для СК и КВИ в направлении оси OX: . (18)Рассмотрим вариант с СК и КВИ, когда их объем при деформации не изменяется. Тогда примем для СК и КВИ выражение для расчета коэффициента Пуассона μ [8] , (19)где ε = εx.Представим выражения (16) и (18) в виде , (20) . (21)Коэффициент Пуассона μ и модуль Юнга E характеризуют упругие свойства анизотропного материала в продольном направлении.Запишем выражение, связывающее изменение диаметра СК и КВИ в процессе растяжения , (22)где d1 – диаметр в момент разрыва изделия.На основании выражений (2) и (22) диаметр в момент разрыва СК и КВИ .Введем допущение, что в сечении СК и КВИ представляют собой окружность, а поверхность их имеет площадь гладкого цилиндра.Площади сечений , где S1 – измененная площадь поперечного сечения СК и КВИ в процессе растяжения; Sп1 – измененная площадь поверхности СК и КВИ в процессе растяжения; S – принятая площадь поперечного сечения СК и КВИ; Sп – принятая площадь поверхности СК и КВИ. Согласно закону Гука для изотропных тел , (23)где E – модуль Юнга материала, характеризующий упругие свойства изотропного материала.Для анизотропных тел , (24)где Ex – модуль упругости СК и КВИ в поперечном сечении; Ey – условный модуль упругости по поверхности СК и КВИ.Подставим выражение (19) в (24): . (25)Найдем отношение e = Ey/Ex из (25) с учетом (2) и (3): ,или, с учетом (19) и (20), . (26)Выражение (26) справедливо только при наличии продольной деформации (удлинения) несжимаемого тела.Результаты и обсуждениеОтобразим графически зависимость вида (19) μ = f(ε) (рис. 3). Рис. 3. Зависимость вида (19) μ = f(ε)Fig. 3. Dependence of the form (19) μ = f(ε) Данная зависимость справедлива для больших продольных нагрузок.Отобразим графически (рис. 4) зависимость вида (20) Ty/Tx = f(ε, λ), или α = f(ε, λ): . (27) Рис. 4. Зависимость вида (20) Ty/Tx = f(ε, λ)Fig. 4. Dependence of the form (20) Ty/Tx = f(ε, λ) Отобразим графически (рис. 5) зависимость вида (21) Hy/Hx = f(ε, λ), или α2 = f(ε, λ) Рис. 5. Зависимость вида (21) Hy/Hx = f(ε,λ)Fig. 5. Dependence of view (21) Hy/Hx = f(ε, λ) Отобразим графически зависимость вида (26) Ey/Ex = f(ε, λ), или e = f(ε, λ) (рис. 6). Рис. 6. Зависимость вида (26) Ey/Ex = f(ε, λ)Fig. 6. Dependence of view (26) Ey/Ex = f(ε, λ) Зависимость Ey/Ex = f(Ty/Tx) представлена на рис. 7. Рис. 7. Зависимость вида Ey/Ex = f(Ty/Tx)Fig. 7. Dependence of view Ey/Ex = f(Ty/Tx) Разделим выражение (27) на (26) для поиска отношения T/E = εS: . (28)Зависимость TyEx/TxEy = f(ε, λ) представлена на рис. 8. Рис. 8. Зависимость вида TyEx/TxEy = f(ε, λ)Fig. 8. Dependence of view TyEx/TxEy = f(ε, λ) Выражение (28) представим в виде , где k – коэффициент пропорциональности: .На основании закона Гука (23) получим следующее отношение: . Тогда ,или .Представим отношение производительности сил при условии постоянства объема в виде . (29)Представим отношение сил СК и КВИ при условии постоянства объема в виде .Зависимость Hy/Hx = f(Ey/Ex) представлена на рис. 9. Рис. 9. Зависимость вида Hy/Hx = f(Ey/Ex)Fig. 9. Dependence of view Hy/Hx = f(Ey/Ex) На основании графика зависимости Hy/Hx == f(Ey/Ex) (см. рис. 9) можно сделать вывод, что ,где k1 – коэффициент пропорциональности, значение которого находится в диапазоне 0,89–1,0, и в этой связи его примем за k1 = 1,0, т. к. отношение L/d для СК и КВИ превышает L/d = 10, и толь-ко для сетных пластин, где шаг ячеи 10 мм и диаметр нитки 1 мм, удлинение будет равным L/d = 10, а значение коэффициента k1 составляет 0,89, (см. рис. 9), тогда .Зависимость вида (29) представим в виде или запишем уравнения, связывающие безразмерные конструктивные, геометрические и силовые характеристики СК и КВИ при условии постоянства объема . (30)На основании пятого уравнения системы (30) и выражения (29) запишем .Таким образом, для идеально гибких СК и КВИ отношение производительности сил или отношение модулей упругости в поперечном и продольном направлениях, которые возникают при растяжении СК и КВИ, обратно пропорциональны квадрату коэффициента k, который связывает удлинение λ, коэффициент Пуассона μ и относительное удлинение ε СК и КВИ при условии постоянства объема.ЗаключениеВ статье рассмотрен пример растяжения идеально гибких стальных канатов и канатно-веревочных изделий. Не учитывались такие конструктивные параметры, как свивка, количество прядей, толщина проволоки и волокна, тип плетения.Безразмерное уравнение СК и КВИ (10) характеризует прямую пропорциональность отношения производительности сил, направленных перпендикулярно друг другу, к силам, направленным в данных направлениях, равную λ.Выражение (14) характеризует отношение сил (растягивающих и сжимающих) СК и КВИ, направленных перпендикулярно друг другу, равное tgα. Выражение (15) характеризует отношение производительности сил, направленных перпендикулярно друг другу, равное tg2α.Выражение (16) характеризует прямую пропорциональность отношения производительности сил, направленных перпендикулярно друг другу, к отношению коэффициента Пуассона СК и КВИ к удлинению в квадрате.Отношение производительности сил или отношение модулей упругости в поперечном и продольном направлениях, которые возникают при растяжении СК и КВИ, обратно пропорциональны квадрату коэффициента k, который связывает удлинение λ, коэффициент Пуассона μ и относительное удлинение ε СК и КВИ при условии V1 = V (где V – объем изделия).