ВведениеПри реализации синтеза молочной кислоты в процессе всегда происходят возмущения (отклонения показателей процесса от стационарного значения). Если эти отклонения не приводят к нарушению технологического процесса и с течением времени значения показателей возвращаются к первоначальным, стационарное состояние устойчиво. В противном случае для реализации процесса требуется внешнее управление.Так как малых возмущений избежать практически не удается, то, если наблюдается нарушение технологического процесса, приводящее к невозможности обеспечения его функционального назначения, процесс считается неустойчивым в малом. Математический анализ такого рода устойчивости или неустойчивости в малом получил название «устойчивость первого приближения», оценка которой возможна по условиям Гурвица. Подробный математический анализ в доступной форме приведен в работах [1, 2].Процессы микробиологического синтеза достаточно широко распространены. Однако в настоящем исследовании речь идет о промышленно значимых процессах получения целевых продуктов [3], в частности пищевых кислот [4].Рассматриваемые процессы отвечают следующим условиям: в процессе синтеза производится биомасса X, получается целевой продукт P, расходуется основной субстрат S. Сущность процесса определяется кинетикой роста биомассы, основным показателем которой является удельная скорость роста m, т. к. биомасса является продуцентом образования продукта. Математически удельная скорость роста для рассматриваемого объекта является в общем случае нелинейной функцией X, S, P. Кроме того, в процессе ферментации удельная скорость роста в той или иной степени может быть ингибирована каждым из показателей X, S, P. Отметим, что для отдельных штаммов микроорганизмов при ферментации кроме целевого продукта образуются побочные, иногда представляющие практическую ценность [5, 6]. Таких продуктов образуется, как правило, незначительное количество [7]. С другой стороны, поскольку сырье является наиболее расходной статьей процесса, имеется тенденция [5, 6] к использованию воспроизводимого сырья, что отмечено в работах [8–10]. Уравнения математических моделей Нестационарные состояния оцениваются преимущественно с использованием математических моделей [5, 6, 11]. При этом имеет место большое разнообразие уравнений математических моделей, ориентированных, с одной стороны, на характеристики штаммов микроорганизмов, с другой стороны, согласно представлениям конкретных исследователей – на характер взаимоотношения компонентов в процессе синтеза. В достаточно полной мере эти позиции освещены в обзорах [5, 6, 11] и других публикациях. Таким образом, в общем виде сформировать единую систему уравнений не представляется возможным. В настоящей публикации представлены уравнения трех типов.Первый тип отвечает условиям использования штамма, не воспроизводящего молочную кислоту, т. е. ориентирован только на получение биомассы [12]. Эта математическая модель содержит только два уравнения: уравнение баланса и уравнение для удельной скорости роста. Уравнения для стационарных условий имеют следующий вид:                                                                                                                   (1)                                                                                                   (2)                                                                                               (3)где µ – удельная скорость роста микроорганизмов, ч–1; D – величина протока, ч–1; X – концентрация биомассы, г/л; S – концентрация субстрата, г/л; YX/S – стехиометрический коэффициент, г/г; Ki – константа ингибирования, г/л; Km – константа насыщения субстрата, г/л; 0 – начальное значение; max – максимальное значение.Второй тип уравнения отвечает условиям получения молочной кислоты при использовании основного субстрата, как правило глюкозы.Математическая модель содержит следующие уравнения для стационарных условий:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         где P – концентрация продукта, г/л; α, β – константы.Соотношения уравнений для моделирования наиболее часто используются для различных видов удельной скорости роста m.Третий тип уравнения используется достаточно редко (судя по публикациям), хотя в определенной степени он более привлекателен. Привлекательность заключается в том, что здесь расширяется сырьевая база и, как следствие, возрастает экономическая эффективность синтеза.Данная технология, кроме основного субстрата, использует компонент M, воспроизводящий основной субстрат в процессе синтеза. Уравнения математической модели имеют вид:                                                                                                                 (4)                                                                                    (5)                                                                                                        (6)                                                                                                   (7)где                                                          (8)где kM – константа, определяющая количество воспроизведенного субстрата, ч–1; M – концентрация сырья, дополнительно воспроизводящего субстрат, г/л.Таким образом, обозначены уравнения математических моделей, которые используются в дальнейшем. Нестационарные состояния. УстойчивостьНестационарные состояния рассмотрены для трех условий организации технологического процесса. Первой технологии отвечает организация процесса, когда используется штамм микроорганизмов, предназначенных для получения только биомассы. Условия второй технологии предполагают использование для получения молочной кислоты только основного субстрата, потребляемого микроорганизмами, содержащегося в поступающем потоке (например, глюкозе).Третья технология относится к процессам, использующим кроме основного субстрата сырье, воспроизводящее основной субстрат в процессе синтеза (например, мальтозу). Условия первой технологии.Уравнения (1)–(3) записываются для нестационарных состояний:                                                                                             (9)                                                                           (10)                                                                                                    Вводятся приращения по X и S от стационарных значений:                                             X = Xст + d1;  S = Sст + d2,                                                         где Xст и Sст – значения X и S для конкретного стационарного состояния. Уравнения (9) и (10) примут вид:                                                                                                                                                                        Используя разложение F1 и F2 в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов ряда, получаем:                                                                                                           (11)                                                                                                          (12)где                                                         При этом F1(X, S)ст = F2(X, S)ст = 0. Уравнения (11), (12) преобразуются в одно дифференциальное уравнение второго порядка по d1.Получено:                                                                                                        где ; .Характеристическое уравнение:                                                    .                                                               Необходимое и достаточное условие устойчивости:                                                   ; .                                                               В табл. 1 приведены формулы для вычисления констант (11) и (12): a1, b1, a2, b2.Таблица 1Table 1Расчетные соотношения для вычисления a1, b1, a2, b2Design ratios for calculating a1, b1, a2, b2Обозначение коэффициентаРасчетная формулаa1 b1 a2 b2  Пример численного расчета не приводится, т. к. использование штаммов, не производящих молочную кислоту, не представляет технологического интереса. Условия второй технологии.Уравнения математической модели процесса микробиологического синтеза в нестационарном состоянии в непрерывных условиях функционирования имеют следующий вид:                                                                                     (13)                                                                       (14)                                   ,                                        (15)где D = Q / V; V – объем заполнения реактора, м3; Q – объемная скорость поступающего потока, м3/ч; µ – удельная скорость роста биомассы, ч–1; YX/S – стехиометрический коэффициент, г/г; X, S, P – концентрация на выходе из реактора биомассы, субстрата и продукта соответственно, г/л; Sf – концентрация субстрата в потоке, поступающем в реактор, г/л; α, β – константы. Этот тип условий является наиболее распространенным в научных и технологических разработках.Используются различные варианты удельной скорости роста. Часто эти варианты принимаются авторами без достаточного научного обоснования. Наиболее часто рассматриваются варианты с удельной скоростью роста, ингибируемой концентрацией продукта и концентрацией субстрата в виде соотношения                                    ,                                                где µmax – максимальная удельная скорость роста, ч–1; Pmax – константа насыщения продукта, г/л; Ki – константа ингибирования субстрата, г/л; Km – константа насыщения субстрата, г/л.Стационарные условия процесса (невозмущенное движение):                                                  .                                                             Координаты возмущенного движения представляются в виде суммы координат невозмущенного движения и приращения, являющегося функцией времени t. Так, для уравнений (13)–(15) координаты возмущенного движения: X = Xст + d1(t); S = Sст + d2(t); P = Pст + d3(t).Уравнения (13)–(15) примут вид:                                                                                                                                                                                                                  Используется разложение F1, F2 и F3 в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов ряда, получим:                                               ;                                                    (16)                                              ;                                                   (17)                                              .                                                   (18)Формулы расчета коэффициентов уравнений (16)–(18) приведены в табл. 2, где                                  ; ; .                                              Частные производные в уравнениях вычисляются для стационарных состояний.Таблица 2Table 2Расчетные соотношения для вычисления коэффициентов уравнений (16)–(18)Design ratios for calculating the coefficients of equations (16)-(18)Обозначение коэффициентаРасчетная формулаa10b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3  Оценка условий устойчивости стационарного состояния возможна по одному из двух вариантов. Приведем формулировку обоих.Согласно первому варианту необходимо использовать уравнения (16)–(18), сформировав из трех уравнений первого порядка единственное уравнение третьего порядка.В соответствии с качественной теорией дифференциальных уравнений три уравнения (16)–(18) приводятся к дифференциальному уравнению третьего порядка:                                     ,                                          (19)где ; ; ; ; ; ; ; .Необходимое и достаточное условие устойчивости для дифференциальных уравнений третьего порядка получено И. А. Вышнеградским, а также К. И. Максвеллом [13].Формируется определитель с использованием матрицы Гурвица                                                      .                                                           (20)Необходимое и достаточное условие устойчивости – положительность главных миноров определителя (20), т. е.                         ; ; .                              (21)Раскрывая по последней строке, получаем:                                          ; .                                                (22)Согласно второму варианту формируется характеристическое уравнение с использованием собственных чисел l. Приведем последовательность формирования характеристического уравнения. Используя константы, приведем определитель, содержащий собственные числа l:                                               .                                                          Раскрывая определитель, получаем следующие соотношения, по которым формируется характеристическое уравнение:                       .                                   Характеристическое уравнение:                                              ,                                                          где P0 = –1,0; P1 = a1 + b2 + c3; P2 = (b1a2 + c1a3) – (a1c3 + a1b2) – (b2c3 – c2b3); P3 = (b1c2a3 – b1a2c3) + + (c1a2b3 – c1a3b2) + (a1b2c3 – a2c2b3).Раскрыв обозначения в (19), получим значения P0, P1, P2, P3, аналогичные приведенным.Оценка устойчивости проведена по первому варианту, т. е. с использованием соотношения (19).Для численной оценки выбрано следующее стационарное состояние: D = 0,15 ч–1; Sf = 25 г/л; Sст = 5,89 г/л; Xст = 7,64 г/л; Pст = 27 г/л; QP = 4,05 г/(л×ч).Для численного моделирования использованы данные кинетических исследований анаэробного процесса микробиологического синтеза (табл. 3).Таблица 3Table 3Численные значения констант*Numerical values of constantsµmax, ч–1Pmax, г/лKm, г/лKi, г/лYX/S, г/гα, г/гβ, ч–10,48501,2220,42,20,2 * Составлено по [2, 3]. Согласно табл. 2 для принятого стационарного состояния рассчитаны коэффициенты уравнений (16)–(18):a1 = 0,0; b1 = –0,00846; c1 = –0,04982;a2 = –0,375; b2 = –0,1288; c2 = –0,1246;a3 = 0,53; b3 = –0,0186; c2 = –0,2596.Используя значения ai, bi, ci, вычислены следующие показатели к уравнению (19):M1 = –0,02323; M2 = 0,0020164; M3 = 0,01188; A = –3,565 ∙ 10–8.Далее вычисляются коэффициенты уравнения (19):P0 = –0,00846; P1 = –0,003286; P2 = –0,000106; P3 = –0,00002948.Таким образом, уравнение (19) получилось с отрицательными коэффициентами. Для дальнейших вычислений умножаем (19) на (–1), получаем следующие значения: P0 = 0,00846; P1 = 0,003286; P2 = 0,000106; P3 = 0,00002948.Далее следует, что все коэффициенты положительны. Согласно (21):D1 = P1 = 0,003286 > 0;D2 = 0,003286 ∙ 0,000106 – 0,00846 ∙ 0,00002948 > 0;D3 = 0,00002948 ∙ 0,99 ∙ 10–7 > 0;D4 = 0,00002948 ∙ (0,003286 ∙ 0,000106 – 0,00846 ∙ 0,00002948) > 0 (согласно (22)).Заключение: рассмотренное стационарное состояние устойчиво. Условия третьей технологии.Данная технология пока не получила столь большого распространения, как предыдущая, однако она более приближена к практическим условиям реализации. Дело в том, что технологический процесс при синтезе молочной кислоты использует как основной субстрат (чаще всего глюкозу), так и сырье, образующее основной субстрат в процессе синтеза. Примером такого сырья является мальтоза [6, 7].Математическая модель рассматриваемого объекта в нестационарных условиях имеет вид:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Значения нестационарных переменных запишем в виде суммы стационарного значения и малого приращения, т. е.                        X = Xст + d1;  S = Sст + d2;  P = Pст + d3;  M = Mст + d4.                                    Используя разложение функций F1, F2, F3 и F4 в ряд Тейлора для нестационарных условий, получим:                    .                         (23)Аналогично уравнению (23) записываются значения функций F2, F3 и F4. Материальный баланс для стационарных условий приведен в (4)–(8).Стационарные значения F1ст, F2ст, F3ст, F4ст в разложении функций F1, F2, F3 и F4 в ряд Тейлора равны нулю, и в результате получаем следующие дифференциальные уравнения:                                          ;                                               (24)                                         ;                                              (25)                                         ;                                              (26)                                         .                                              (27)Оценка устойчивости так же, как и для условий второй технологии, возможна по одному из двух вариантов. Для дальнейшего анализа по первому варианту уравнения (24)–(27) преобразуются в одно уравнение четвертого порядка, в данном анализе относительно d1:                               ,                                    (28)где            ; ; ;                                            ; ;                                                           ; ; ;                                                             ; ; ;                                                         ; ; .                                  Первым условием – тривиальным – является положительность коэффициентов уравнения (28). Если хотя бы один из коэффициентов меньше нуля – система неустойчива. Если один из коэффициентов равен нулю – система на грани устойчивости (следует принять, что неустойчива).Далее формируется определитель матрицы Гурвица [1, 2]:                                                   .                                                        (29)Необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность первых диагональных миноров определителя (29) [1, 2], т. е.                          ; ;                                (30)и, наконец, определитель D4 по (29) также больше нуля. Отметим, что последнее условие при раскрытии определителя (29) приводит к последнему соотношению (30) и именно это условие является нетривиальным.Таким образом, получили условия оценки устойчивости рассматриваемого стационарного состояния (отметим, оценка в малом, т. е. при малых отклонениях от стационарности).Для формирования соотношений для оценки P0, P1, P2, P3, P4 используются нижеследующие таблицы. В табл. 4 приведены расчетные соотношения для вычисления коэффициентов уравнений (24)–(27).Таблица 4Table 4Расчетные соотношения для вычисления коэффициентов уравнений (24)–(27)Design ratios for calculating the coefficients of equations (24)-(27)Обозначение коэффициентаРасчетная формулаa1 b1 c1 d10,0a2 b2 c2 d2kMa3 b3 c3 d30,0a40,0b40,0c40,0d4  Ввиду громоздкости вывода последовательность преобразования уравнений (24)–(27) в одно дифференциальное уравнение четвертого порядка не приводится.Рассмотрим второй метод формирования характеристического уравнения для выражений (24)–(27). Метод использует понятие собственных чисел [13].Матрица для формирования характеристического уравнения, включающая собственные числа l:                                           Последовательно раскрываем определители.Первый определитель : Второй определитель : .Третий определитель : .Характеристическое уравнение имеет вид:                                                                                     (31)где                                      (32)Для оценки устойчивости используются соотношения (29), (30). Числовой расчет выполнен для трех стационарных состояний, которые определяются значением величины протока, т. е. для D = 0,1 ч–1; D = 0,2 ч–1; D = 0,3 ч–1.Исходными данными являются уравнения математической модели для стационарного состояния (4)–(8), концентрация компонентов в поступающем потоке согласно [14]: S0 = 60 г/л; M0 = 20 г/л.Численные значения констант для уравнений (31), (32) приведены в табл. 5 на основе [15].Таблица 5Table 5Численные значения констант для базового вариантаNumerical values of constants for the basic versionKm, г/лKi, г/лµmax, ч–1Xmax, г/лPmax, г/лn1n2YX/S, г/гkM, ч–1α, г/гβ, ч–11,21640,483098,00,50,50,40,0352,20,02 Показатели для трех стационарных состояний приведены в табл. 6, в ней же дана оценка величины продуктивности для каждого стационарного состояния.Таблица 6Table 6Результаты моделирования процесса для трех показателей DResults of process modeling for three indicators DПоказатели процессаX, г/лP, г/лS, г/лM, г/лQP, г/(л×ч)D1 = 0,1 ч–124,4158,584,1614,815,86D2 = 0,2 ч–117,6740,6418,817,028,13D3 = 0,3 ч–16,4814,6945,8917,914,40 Численные значения коэффициентов уравнений (24)–(27) приведены в табл. 7.Таблица 7Table 7Расчет для трех стационарных состояний по D1 = 0,1 ч–1; D2 = 0,2 ч–1; D3 = 0,3 ч–1для уравнений (24)–(27)Coefficients of equations (24)-(27) calculated for three stationary states at D1 = 0.1 h–1; D2 = 0.2 h–1; D3 = 0.3 h–1Обозначение коэффициентаD1 = 0,1 ч–1D2 = 0,2 ч–1D3 = 0,3 ч–1a1–0,21833–0,1433–0,04132b10,11747–0,00697–0,008226c1–0,03096–0,0308–0,01166d1000a20,79580,85820,8533b2–0,393690,020280,02056c20,07740,077010,02916d20,0350,0350,035a3–0,260330,144720,5891b30,25845–0,017848–0,0181c3–0,1681–0,2678–0,3256d3000a4000b4000c4000d4–0,135–0,235–0,335 Вычисление констант ai, bi, ci, di произведено по табл. 2.Значения показателей в поступающем потоке [10]: S0 = 60 г/л; M0 = 20 г/л.Для вычисления значений ai, bi, ci, di использованы показатели стационарных состояний (табл. 6).Далее вычисляются показатели P0, P1, P2, P3, P4 по формуле (32). Значения приведены в табл. 8, т. е. использован второй вариант по собственным числам l.Таблица 8Table 8Значения показателей PiValues of Pi indicatorsDP0P1P2P3P40,11,00,127740,17260,009030,00,21,00,52580,094560,011720,0603190,31,00,481360,06830,008550,0007 Оценка устойчивости по соотношениям (21), (22) подтвердила, что стационарные состояния для D = 0,2 ч–1 и D = 0,3 ч–1 устойчивы. Состояние D = 0,1 ч–1, предположительно, находится на грани устойчивости, т. к. D4 имеет порядок 10–9. ЗаключениеПредставленная в настоящем исследовании методология является достаточно общей и может быть использована и для других видов кинетических соотношений, в том числе и для процесса, в котором не используется компонент, воспроизводящий основной субстрат в процессе синтеза. Единственным ограничением является то, что анализ базируется на условиях первого приближения, т. е. при малых возмущающих воздействиях. В рамках данного анализа не рассматривается возможность судить об устойчивости при больших возмущающих воздействиях.