ВведениеВажность прикладного анализа и моделирования структуры портфеля ценных бумаг обусловливается в современных условиях существенным усилением требований к поиску новых направлений роста доходов коммерческих банков, которые могут быть достигнуты за счёт совершенствования инвестиционной стратегии коммерческого банка, поиска новых финансовых инструментов, используемых для получения прибыли. Расчёт ожидаемого уровня доходности актива возможен на основе применения математического моделирования инвестиционного портфеля банка и тех активов, которые банки могут приобретать с максимальной эффективностью и на основе приемлемого уровня риска. Данная проблема активно изучалась в работах зарубежных экономистов Г. Марковица, У. Ф. Шарпа, Г. Д. Александера, Д. В. Бэйли, Р. Винсаи российских учёных С. В. Брюховецкой, Б. Б. Рубцова, А. Н. Буренина и др.Оценка состояния инвестиционной активности российских коммерческих банковИнвестиционная активность банков на российском фондовом рынке остаётся низкой.С одной стороны, несовершенство рынка ценных бумаг РФ, высокий уровень неопределённости, значительное государственное вмешательство в его процессы являются сдерживающими факторами. С другой стороны, работу с ценными? бумагами усложняют проблемы по получению объективной, достоверной, актуальной информации и выбор оптимальных инструментов управления портфелем ценных бумаг, отвечающих российской специфике развития фондового рынка. Так, отдельные экономисты связывают инвестиционную стратегию банка с портфельным инвестированием на перспективный период, определяемый и реализуемый им через выбор определённых типов портфелей ценных бумаг [1]. Другие экономисты подходят к анализу инвестиционного портфеля через изучение его структуры с заданными характеристиками рискаи доходности [2] на основе статистических данных прошлых лет.На наш взгляд, наиболее правильным в оценке инвестиционных характеристик ценных бумаг является расчёт показателей данных прошлых периодов за n лет:– определим среднее значение доходности актива за n лет:                                                                                                                     – находим дисперсию доходности через отклонение фактического значения доходности (ri) от её средней величины ( ):                                                                                                        – находим стандартное отклонение доходности актива:                                                                                                                          Зависимость между значениями доходностей ценных бумаг в портфеле может бытьне функциональной, а стохастической, или вероятностной. Она рассчитывается через показатели ковариации и коэффициент корреляции. Ковариация – это мера, учитывающая дисперсию индивидуальных значений доходности бумаги и силу связей между изменениями доходностей данной бумаги и других [3]:                                                                                   Положительный результат ковариации свидетельствует о том, что значения доходности активов меняются в одном направлении, отрицательный – о разнонаправленных движениях доходностей оцениваемых объектов. Чтобы измерить силу взаимосвязи между двумя ценными бумагами, используют коэффициент корреляции:                                                                                                         Математическая модель Марковица [4] составляет основу прикладного портфельного анализа, где ключевым показателем при расчёте будет являться дисперсия функции.Пример. Представим ситуацию: инвестор хочет вложить  средства в инвестиционный портфель с тремя типами акций крупных российских компаний, с минимальным уровнем риска и доходностью в 10 %. Целевая функция модели Марковица будет выглядеть следующим образом:                                                         Рассмотрим модель портфеля из расчёта уровня доходности акций ПАО «ЛУКОЙЛ», ПАО «Новатэк», Yandex cIA (табл. 1).Таблица 1Котировки тикеров и рассчитанная доходность акций*ТикерДатаКурс закрытияДоходность, %ЛУКОЙЛ01.05.20184 209–01.06.20184 3503 01.07.20184 451,52 01.08.20184 700,56 01.09.20185 0227 01.10.20184 945–201.11.20184 896–101.12.20184 997201.01.20195 272,5601.02.20195 501401.03.20195 894701.04.20195 511–6Новатэк01.05.2018838,2–01.06.2018852,8201.07.2018924,4801.08.20181 0831701.09.20181 168,2801.10.20181 049,8–1001.11.20181 127,2701.12.20181 132001.01.20191 145101.02.20191 080,4–601.03.20191 078,2001.04.20191 205,212Yandex cIA01.05.20182 076,5–01.06.20182 244801.07.20182 250001.08.20182 150–401.09.20182 160,5001.10.20181 916,5–1101.11.20181 965301.12.20181 930–201.01.20192 2121501.02.20192 208001.03.20192 293,64 * Составлено по [5]. Далее произведём расчёт доходности акций рассмотренных выше компаний (табл. 2).Таблица 2Расчёт основных показателей для модели Марковица, %*ДатаЛУКОЙЛНоватэкYandex cIA01.06.20183,35 1,74 8,07 01.07.20182,33 8,40 0,27 01.08.20185,59 17,16 –4,44 01.09.20186,84 7,87 0,49 01.10.2018–1,53–10,14 –11,2901.11.2018–0,99 7,37 2,53 01.12.20182,06 0,43 –1,78 01.01.20195,51 1,15 14,61 01.02.20194,33 –5,64 –0,18 01.03.20197,14 –0,20 3,88 01.04.2019–6,50 11,78 4,25 Средний доход2,56 3,63 1,49  * Составлено по [5]. Построим модель Марковица (табл. 3).Таблица 3Модель МарковицаКовариационная таблицаКомпанииДисперсия портфеляРиск, %ЛУКОЙЛНоватэкYandex cIA 0,001431033,78 ЛУКОЙЛ0,00157034–0,000130,00050182–Новатэк0,000126530,0055840,00076205Yandex cIA0,000501820,0007620,00404027Доля в портфеле0,5870,4130,0001,00000001Ожидаемый доход0,015031420,014969–3,00 %> = 3  Модель Тобина [6, 7] имеет строение, аналогичное модели Марковица, но в отличие от последней она включает безрисковые активы с максимальным уровнем надёжности, к которым относятся государственные краткосрочные облигации, облигации федерального займа, а также допускает продажу ценных бумаг. Построение модели включает следующие этапы:1. Расчёт доходности портфеля, содержащего безрисковые активы:                                                      где wi – доля ценных бумаг в структуре портфеля; ri – доходность ценных бумаг; w0 – доля безрискового актива в структуре портфеля; r0 – доходность безрискового актива в структуре портфеля.2. Расчёт уровня риска портфеля по методу Марковица, где уровень риска безрисковых активов равен нулю:                                                      3. Составление целевой функции по двум задачам: – портфель минимального риска                                   – портфель максимальной эффективности (доходности)                                     Пример. Портфель банка состоит из акций компаний различных отраслей и безрисковых активов – облигаций федерального займа (ОФЗ). Срок расчёта исторической динамики включает период с 01.05.2018 по 01.05.2019 г. (табл. 4). Таблица 4Расчёт показателей для модели ТобинаДатаДоходность, %ЛУКОЙЛНоватэкYandex cIAОФЗ01.05.2018–––7,7501.06.20183,351,748,07–01.07.20182,338,400,27–01.08.20185,5917,16–4,44–01.09.20186,847,870,49–01.10.2018–1,53–10,14–11,29–01.11.2018–0,997,372,53–01.12.20182,060,43–1,78–01.01.20195,511,1514,61–01.02.20194,33–5,64–0,18–01.03.20197,140,203,88–01.04.2019–6,5011,784,25–Ожидаемая доходность2,563,631,490,65Риск ценной бумаги4,167,846,67–Ковариационная матрица зависимостей акцийЛУКОЙЛ0,001570341–0,000126530,000501819–Новатэк–0,0001265350,0055836220,000762054–Yandex cIA0,0005018190,0007620540,004040273–Среднее, %57,2125,480,0017,32Риск портфеля, %2,90–––Доходность портфеля, %2,50–––Ограничения–––– При применении портфельной теории можно проиллюстрировать возможность оптимального выбора активов, связанного с соотношениями доходности и риска [8]. Для этого рассмотрим модель оценки стоимости финансовых активов (Capital Assets Pricing Model, CAPM), которая описывает зависимость между риском и требуемой доходностью. Так же, как и в однофакторных моделях Марковица и Тобина, оцениваются два фактора: ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности (риск). Запись уравнения данной модели имеет следующий вид [9]:                                                 где  – ожидаемый доход на конкретную ценную бумагу при равновесии рынка; mf – ставка дохода на безрисковую ценную бумагу; (mr – mf) – рыночная премия за риск; βi – бета-коэффициент, мера рыночного риска акции.Бета-коэффициент иллюстрирует чувствительность доходности акции к доходности на рыночный индекс (например, индекс РТС). Линия рынка капитала (CML) отражает зависимость «риск – доходность» для эффективных портфелей, т. е. портфелей, сочетающих в себе рисковые и безрисковые активы [10].Уравнение линии рынка капитала:                                               где mp – эффективность портфеля акций; mf  – доходность безрисковых активов; σmr – среднее квадратичное отклонение доходности рыночных ценных бумаг; σp – среднее квадратичное отклонение доходности акций портфеля.Можно также применить модель арбитражного ценообразования APT (Arbitrage Pricing Theory) С. Росса [11], в которой учитываются  дополнительные экономические факторы риска, такие как темпы прироста ВВП, уровень процентных ставок, уровень инфляции, уровень цен на нефть. Недостатком модели является то, что на практике затруднительно выявить, какие конкретные факторы нужно учитывать в модели при формировании портфеля.По результатам анализа были выявлены наиболее  оптимальные варианты моделирования, которые позволяют учесть различные факторы риска, помимо доходности и уровня риска актива. При этом рассчитывают два вида риска: рыночный (систематический) и собственный (несистематический), рекомендуется их совместное применение. Нахождение рыночного риска также требует соотношение с фондовыми индексами, такими как индекс ММВБ. Кроме того, при формировании инвестиционного портфеля необходимо учитывать возможности снижения риска на основе хеджирования и диверсификации [12]. Хеджирование используют как страхование риска путём открытия сделки по основному активу на противоположной позиции на другом рынке через производные финансовые инструменты. Диверсификацию портфеля необходимо проводить исходя из показателя корреляции, при котором при отрицательном значении коэффициента между активами существует разнонаправленная активность, т. е. степень риска портфеля будет меньше. ЗаключениеТаким образом, в современных условиях низкая ликвидность рынка не позволяет достоверно рассчитывать такие статистические показатели, как математическое ожидание доходности, среднеквадратическое отклонение, используемые в классических моделях. Поэтому основной тенденцией деятельности коммерческих банков как инвесторов на рынке ценных бумаг является их ориентация на краткосрочные вложения [13, 14], поскольку у банков нет возможности осуществлять инвестиции долгосрочного характера вследствие краткосрочного характера ресурсной базы [15]. Нерыночные отклонения цен на существенную величину снижают достоверность статистических показателей, а также качество индексов, рассчитываемых для российского рынка ценных бумаг и его сегментов. Отсутствие указанных индексов препятствует использованию модели CAPM.