Введение Одной из основных проблем теории автоматического управления динамическими объектами является проектирование алгоритмического обеспечения регулирующих устройств в условиях априорной неопределенности параметров математических моделей объектов и при наличии внешних неизмеряемых возмущений и помех. В таких условиях проектируемая система управления должна обеспечивать выполнение основной цели управления, например слежение за эталонным сигналом с требуемой точностью, что возможно осуществить, если скомпенсировать параметрические и внешние возмущения. Впервые на возможность создания систем управления, нечувствительных к внешним воздействиям, было указано в [1]. Впоследствии такие системы были названы инвариантными [2–4]. По этой проблеме имеется большое число публикаций. Достаточно подробно эта проблема изложена в [5], где приводится классификация задач проектирования инвариантных систем управления и различных типов возмущений. Бурное развитие теории робастных систем управления началось с публикации [6], в которой были доказаны необходимые и достаточные условия устойчивости интервальных полиномов. Разработаны различные подходы и методы построения робастных систем управления и исследования их устойчивости [7–9]. Это минимаксные методы [10, 11]. В [5] с помощью алгебраических методов получены условия разрешимости задачи построения инвариантных систем с помощью обратной связи. Синтез робастных систем с помощью матричных неравенств изложен в [12]. Применение адаптивных систем вместе с внутренней моделью возмущений рассмотрено в [13, 14]. В [15, 16] используются специальные фильтры, применение которых позволяет скомпенсировать возмущения, а также путем идентификации параметров гармонического сигнала получить его оценку для формирования компенсирующего управления. В [17] излагается подход к синтезу статических робастных регуляторов для линейных систем на основе решения линейно-квадратичной задачи, основанной на параметризации уравнения Лурье – Риккати. Применение метода инвариантных эллипсоидов для подавления возмущений рассмотрено в [18]. Особенно следует отметить различные подходы, базирующиеся на методе «2-Риккати подход». Данный метод, предложенный в [19], является способом решения задачи оптимального управления в норме H∞. При этом постановка задачи осуществляется в частотной области, а решение ищется в пространстве состояний путем решения двух уравнений Риккати. В этом же направлении выполнены исследования в [20, 21]. В [22, 23] для компенсации возмущений выделяется сигнал, несущий информацию обо всех возмущениях. Этот сигнал служит для получения их оценки, на базе которых формируется управляющее воздействие. В предлагаемой статье приведен принцип построения робастной системы слежения с измеряемым вектором состояния, все компоненты которого подвержены действию помех. Источником возмущений и помех является один и тот же векторный сигнал. При этом предполагается, что параметры математической модели объекта управления известны. Предлагаемый подход позволяет получить оценку значения помех, в результате чего появляется возможность спроектировать систему управления, в которой осуществляется компенсация помех и подавление внешних ограниченных возмущений. Естественно, что на математическую модель объекта управления накладываются определенные ограничения, которые будут приведены в следующем разделе. Постановка задачи Пусть математическая модель динамических процессов в объекте управления имеет вид , (1) где – вектор состояния; – вектор измерения; – управляющее воздействие; – регулируемая переменная; – вектор помех и возмущений; – числовые матрицы соответствующего порядка. Сформулируем хорошо известную задачу слежения. Требуется спроектировать алгоритмическое обеспечение системы управления для слежения за эталонным сигналом таким образом, чтобы выполнялось целевое условие (2) где величина характеризует точность слежения по истечении времени с момента начала работы системы. Будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях. Предположения 1. Известны значения элементов матриц 2. Объект является управляемым и наблюдаемым. 3. Полином – гурвицев, т. е. объект является минимально-фазовым, где – комплексная переменная в преобразовании Лапласа; – единичная матрица; – высокочастотный коэффициент усиления. 4. Источник помех возмущений является ограниченной векторной функцией времени. 5. Матрицы – гурвицевы. Оценка вектора помех Для решения сформулированной задачи будем пользоваться методом, предложенным в [22]. Возьмем вспомогательный контур, математической моделью которого является уравнение (3) и составим уравнение для вектора рассогласования вычитая (3) из (1): Если бы производная измерялась, то оценку вектора можно было бы получить, решая уравнение Поэтому необходимо получить оценку вектора , для чего воспользуемся устройством, динамические процессы в котором описываются уравнением (4) где – достаточно малое число. Покажем, что существует число , обеспечивающее требуемую точность оценки вектора . Введем вектор , тогда из (4) получим следующее уравнение: (7) из которого следует, что выбором числа можно обеспечить сколь угодно малое значение , т. к. по предположениям 4 и 5 величина ограничена. Тогда оценку вектора помех получим из уравнения (8) Таким образом, получение оценки вектора равносильно решению уравнений (4)–(6). Применим преобразование Лапласа к уравнениям (4) и (6): Подставив значение из первого уравнения во второе, получим откуда следует Применив обратное преобразование Лапласа, получим . Здесь составляющая стремится к нулю, а величина достаточно мала в силу малости величины . Число выбирается так, что выполнено неравенство Сформируем новый вектор , который является оценкой вектора , и получим оценку регулируемой переменной: Система слежения Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа, считая, что выходом является сигнал : (7) где – транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы , полиномы – гурвицевы и нормированы; – изображение начальных условий. Применим алгоритм деления Евклида к полиному : где Полином разложим на суммы двух составляющих: Здесь – гурвицев полином. Тогда, подставив полученные многочлены в (7) и применив обратное преобразование Лапласа, получим , где ; – оригинал изображения , который мажорируется затухающей экспоненциальной функцией, т. к. полином – гурвицев, – оператор дифференцирования. Составим уравнение для ошибки : . Здесь . В [22] показано, что алгоритм управления , где – достаточно малая величина, обеспечивает выполнение условия – произвольное малое число. Тогда из равенства следует оценка . Если выбрать числа так, чтобы выполнялось условие , то будет выполнено целевое условие (2). Таким образом, система управления, компенсирующая ограниченные внешние возмущения и помехи измерения, описывается следующими уравнениями: , (8) , . Для иллюстрации работы данного алгоритма слежения рассмотрим числовой пример. Пример Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид Эталонный сигнал имеет вид Система управления (8) описывается следующими уравнениями: , , . На рис. 1 приведены результаты моделирования при следующих исходных данных: Рис. 1. Переходные процессы в системе слежения На управляющее воздействие было наложено ограничение . Результаты моделирования показывают, что через 4 секунды величина ошибки слежения не превышает значения 0,005. На рис. 2 представлены переходные процессы, когда . Рис. 2. Переходные процессы по управлению и ошибке слежения Величина ошибки слежения через 6 секунд не превышает значения 0,04. Заключение Предложен простой подход к проектированию робастных систем слежения, в которых компенсируются внешние ограниченные возмущения и помехи измерения вектора состояния, когда источником возмущений и помех является один и тот же векторный сигнал.