Введение Изучение непрерывных биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов и получения целевых продуктов показало, что для таких процессов существует множественность стационарных состояний [1–3]. Понятие множественности означает следующее. Если для заданной величины продуктивности по целевому продукту Qp г/(л ∙ ч) задана величина протока D ч-1, то возможно наличие двух значений концентраций субстрата в поступающем потоке Sf г/л, обеспечивающих заданное значение продуктивности. И наоборот, если задана концентрация субстрата в поступающем потоке Sf г/л, то возможно существование двух значений величины протока D ч-1, обеспечивающих заданное значение продуктивности. Для возможности оценки показателей процесса в условиях множественности необходимо определить область существования множественности, т. е. оценить предельные значения Sf и D, которыми ограничена указанная область. Таким образом, алгоритмы оценки множественности должны включать определение области существования множественности и, соответственно, по заданным Qp и D – алгоритм вычисления двух значений Sf или при заданных значениях Qp и Sf – алгоритм вычисления двух значений D. Для разработки указанных алгоритмов используем математическую модель непрерывного биотехнологического процесса получения молочной кислоты [3–5]: , (1) , (2) , (3) где , , . (4) , , , (5) , (6) , (7) . (8) Соотношения (1)–(8) положены в основу разработки указанных выше алгоритмов. Алгоритм формирования области существования множественности Смысл данного анализа заключается в выявлении показателей технологического процесса Qp, Sf и D, для которых может иметь место множественность. Прежде всего необходимо сформировать пределы значений Qp. В [4] получено выражение для максимального Qp (оптимального по Sf и D) в виде . (9) Значения Dopt и Sfopt: , (10) , (11) где Xopt вычисляется по (3), a, b и c вычисляются по (4)–(8) при . (12) Величина продуктивности Qp, очевидно, не может быть больше maxQp. В то же время при maxQp имеется единственное решение для D по (10) и Sf по (11). Таким образом, существование множественности возможно только при значении Qp, удовлетворяющему неравенству . (13) Будем полагать, что в дальнейшем в соотношениях значение Qp принимается по условию (13). Запишем выражение для Qp, используя (1): . (14) Решение (14) относительно S получаем из уравнения . Решение имеет вид , (15) и , (16) где . (17) Таким образом, в зависимости от D для любого принятого значения Qp существуют две функции S, обеспечивающие одинаковое значение Qp. Значение Sf для любого D может быть вычислено по уравнениям (1)–(3) с использованием (4)–(8), (15)–(17). Решение (15), (16) определяет предельное значение A(D) по соотношению . (18) Из (18) имеем . (19) В (19) следует принять знак «+». Тогда, с учетом (17), получаем . (20) Решение (20) относительно D дает два предельных значения: , (21) , (22) где . Отметим, что если подкоренное выражение в (21) и (22) равно нулю, то значение Qp = maxQp, естественно, при одном значении D: . Таким образом, для принятого Qp получаем граничные значения по D: D1 и D2 по (21) и (22) при одном значении S0: . (23) Используя значения D1, D2 и S0 по (23) и уравнения материального баланса (1)–(3), получаем: , (24) . (25) где j = 1, 2; a, b, c вычисляются для S0, рассчитанному по (23). В результате определяем координаты границы области множественности по D: . Вычислив разность , получаем условие . Обращаясь к соотношениям (15) и (16), отметим, что область множественности ограничена по S этими двумя функциями в пределах D2, D1, которые используются для максимального и минимального значения Sf в области множественности. В дальнейшем максимальное значение Sf обозначим и соответствующее значение D – через D1, минимальное значение Sf обозначим и соответствующее значение D – через D2. Значения , , D1 и D2 находятся численно – по одному из известных методов нелинейного программирования для поиска экстремума функции одной переменной. Поскольку аналитически функции Sf в области определения по D не заданы, для их вычисления и решения задачи оптимизации используются уравнения материального баланса (1)–(3) и соотношения (4)–(8). Завершается формирование области множественности получением следующих показателей: – граница области по D: D1 и D2; соответствующие значения по Sf: Sf1 и Sf2; – граница области по Sf: и ; соответствующие значения по D: D1 и D2; – принятое значение . На рис. 1 показана блок-схема алгоритма вычисления указанных показателей. В качестве исходных данных используются кинетические параметры, а также значение Qp, которое принимается по условию (13) после предварительного вычисления maxQp по формуле (9), и S0, вычисленное по (12). В блок-схеме алгоритма задача оптимизации решается методом сканирования (это не исключает возможность использования любого другого метода). Численные расчеты в соответствии с блок-схемой (рис. 1) выполнены для данных табл. 1. Максимальное значение продуктивности maxQp = 12,42 г/(л ∙ ч); значение S0 = 20,032 г/л; значение Qp, принятое в расчетах, – 11 г/(л ∙ ч). Таблица 1 Числовые значения кинетических параметров Для образования биомассы Для утилизации субстрата Для образования продукта mmax, ч-1 Ksx, г/л Kix, г/л Pix, г/л Pmx, г/л 1,10 1,32 304 1,39 49,9 qsmax, г/(г ∙ч) Kss, г/л Kis, г/л Pis, г/л Pms, г/л 3,42 2,05 140 47,1 95,5 a, г/г qpmax(= b), г/(г ∙ ч) Ksp, г/л Kip, г/л Pip, г/л Pmp, г/л 0,39 3,02 2,05 140 47,1 95,5 Рис. 1. Блок-схема алгоритма вычисления показателей стационарного процесса, формирующих область существования множественности Получено: D1 = 0,329 ч–1; D2 = 0,667 ч–1; Sf1 = 56,34 г/л; Sf2 = 37,55 г/л; D1 = 0,43 ч–1; D2 = 0,58 ч–1; = 106,78 г/л; = 27,48 г/л. На рис. 2 показана область существования множественности для Qp = 11 г/(л ∙ ч). Рис. 2. Область существования множественности Алгоритм оценивания показателей множественности при заданной величине протока Исходные данные включают: – значение Qp, которое принимается по условию (13), где maxQp рассчитывается по соотношению (9); – значение D, удовлетворяющее условию , где D1 рассчитывается по соотношению (21), D2 – по соотношению (22); – значение P, рассчитанное по соотношению . Принятые значения Qp, D и P вносятся вместе с кинетическими константами в исходные данные алгоритма. Результаты реализации алгоритма дают значения показателей стационарного процесса: – стационарное состояние 1: Qp, D, P, S1, X1, Sf1; – стационарное состояние 2: Qp, D, P, S2, X2, Sf2, где Sf1 и Sf2 – значения Sf в стационарных состояниях. Блок-схема алгоритма показана на рис. 3. Приведем численные результаты расчета в соответствии с блок-схемой (рис. 3) для Qp = = 11 г/(л ∙ ч). Значение maxQp = 12,42 г/(л ч); D1 = 0,329 ч–1; D2 = 0,667 ч–1; принятое значение D = 0,6 ч–1; P = 18,33 г/л. Стационарное состояние 1: Qp = 11 г/(л ∙ ч); D = 0,6 ч–1; P = 18,33 г/л; S1 = 49,19 г/л; X1 = = 3,01 г/л; Sf1 = 68,65 г/л. Стационарное состояние 2: Qp = 11 г/(л ∙ ч); D = 0,6 ч–1; P = 18,33 г/л; S2 = 8,16 г/л; X2 = 2,84 г/л; Sf2 = 27,66 г/л. Рис. 3. Блок-схема вычисления показателей стационарного процесса в условиях множественности при заданной величине протока Алгоритм оценивания показателей множественности при заданной величине концентрации субстрата в поступающем потоке Подготовка исходных данных включает расчет значения Qp, которое принимается по условию (13), где maxQp рассчитывается по соотношению (9). В исходные данные заносятся результаты реализации алгоритма, определяющего границы области множественности: , где D1 и D2 – границы множественности по D; и – границы области множественности по Sf. В исходные данные заносится значение , величина которого определяется условием . На рис. 4 показана блок-схема алгоритма вычисления показателей процесса при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке . Алгоритм формируется в зависимости от условий задания : - если , то в расчете первого и второго стационарного состояния используется значение S, вычисленное по соотношению (15); - если , то в расчете первого и второго стационарного состояния используется значение S, вычисленное по соотношению (16); - если , то в расчете первого стационарного состояния используется значение S, вычисленное по соотношению (16), второго – с значение S, вычисленное по соотношению (15). Рис. 4. Блок-схема алгоритма вычисления показателей стационарного процесса в условиях множественности при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке (см. также с. 15) Рис. 4. Окончание Заключение В заключение приведем таблицу результатов численных расчетов показателей процесса в условиях множественности при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке . Отметим, что с технологической точки зрения для одного и того же значения продуктивности по молочной кислоте Qp для разных состояний в условиях множественности такие показатели, как количество образуемой биомассы в единицу времени Qx = DX г/(л ∙ ч) и количество остаточного (неиспользованного) субстрата Qs = DS г/(л ∙ ч) различаются. Численные значения, приведенные в табл. 2, получены для Qp = 11 г/(л ∙ ч) с данными для границ множественности, полученными ранее. Таблица 2 Численные значения показателей процесса № п/п Условия, , г/л D, ч–1 X, г/л S, г/л P, г/л Qx, г/(л ∙ ч) Qs, г/(л ∙ ч) Расход субстрата, % l Состояние 1 0,55 3,27 62,82 19,96 1,7985 34,551 25,2 Состояние 2 0,35 3,71 49,67 31,51 1,2985 17,385 40,8 ll Состояние 1 0,53 3,11 5,90 20,78 1,6483 3,127 78,9 Состояние 2 0,61 2,79 8,98 18,03 1,7019 5,478 67,9 III Состояние 1 0,34 3,46 9,90 32,35 1,1764 3,366 78,0 Состояние 2 0,66 2,69 27,32 16,69 1,7754 18,031 39,3 Из табл. 2 следует, что наименьшее количество использованного субстрата получается для условий I. Поскольку цель процесса заключается в получении заданной продуктивности, концентрация продукта P в данном случае значения не имеет. Количество же образуемой биомассы в единицу времени лежит в пределах от 1,17 до 1,80 г/л. Таким образом, расчет показателей множественности дает дополнительную информацию по выбору условий реализации технологического процесса.