Введение Постановка задачи. Для моделирования динамики разноглубинной траловой системы методом точечных масс [1, 2] необходимо знать все массы, сосредоточенные в узлах, (точечные массы) с учетом присоединенной массы, зависимости расстояний между всеми связями от внутренних сил (сил натяжения) и значения внешних сил, приложенных ко всем узлам (гидростатических, гидродинамических, сил тяги траулера). Для канатно-веревочного изделия (КВИ), которым является трал, связью считается участок каната, троса, нитки или веревки, а узлом - место их соединения. Для моделирования прогиба каната, троса или веревки в модель точечных масс вводятся дополнительные узлы, расположенные на канате (тросе, веревке …) и делящие его (ее) на части. В траловую систему входят не только КВИ, но и такие элементы конструкции, как распорные траловые доски, которые необходимо внедрить в общую математическую модель. Для этого траловую доску необходимо представить в виде узлов и связей, т. е. создать математическую модель точечных масс для траловой доски. Математическое описание Рассмотрим случай, когда расстояния между точками крепления ваеров и лапок к траловой доске остаются фиксированными в течение всего процесса моделирования (соединение крыльев и предкрылок жесткое). При переходе к математической модели заменим точки крепления ваера (точка 1 на рис. 1) и лапок к траловой доске (точки 2 и 3 на рис. 1) узлами. Введем три инцидентные каждой паре узлов связи - a, b и c (рис. 1). Длины данных связей определены, фиксированы в течение всего процесса моделирования и не зависят от сил сжатия/растяжения (величина, обратная модулю упругости связи при сжатии и растяжении равна нулю). Рис. 1. Распорная траловая доска с обозначением узлов и связей модели точечных масс Для определения массы, сосредоточенной в каждой из трех точек, необходимо знать конструкцию траловой доски и плотность ее материалов. Для определения внешних сил, действующих на узлы траловой доски, необходимо знать вес части траловой доски в воде, сосредоточенный в узле, и поле давлений воды на поверхностях траловой доски. Современные траловые доски имеют достаточно сложную конструкцию, поэтому для точного моделирования их влияния на динамику всей траловой системы поле давлений необходимо вычислять с использованием уравнений Навье - Стокса [3]. Одним из методов численного решения данных уравнений является метод расщепления [4]. Метод достаточно трудоемок с точки зрения вычислений на ЭВМ. Одним из направлений оптимизации вычислений является параллельная (одновременная) обработка множества ячеек трехмерной вычислительной сетки с использованием вычислительных ресурсов графического процессора (графических процессоров) [5]. Нами разрабатывается программный код алгоритма метода расщеплений для параллельных вычислений на персональном компьютере с графическим процессором в операционной системе Windows с использованием программного интерфейса DirectCompute [6]. Из-за большой трудоемкости численного решения уравнений Навье - Стокса методом расщепления, даже с учетом вычислений на графическом процессоре, его применение для расчета внешних сил на каждой итерации алгоритма точечных масс на персональном компьютере в реальном времени не представляется возможным. В связи с этим нами предлагается более быстрый способ, основанный на композиции двух методов: расщепления для траловых досок и точечных масс для канатно-веревочной части траловой системы. Взаимодействие между методами (математическими моделями) предлагается осуществлять через табличные преобразования с линейной интерполяцией промежуточных значений. Опишем подробнее принцип взаимодействия. Траловая доска представляется как абсолютно твердое тело с шестью степенями свободы. Так как разноглубинный трал работает далеко от поверхности дна водоема, то его влиянием на поля скоростей и давлений водной массы можно пренебречь. Можно пренебречь также искажением этих полей, вызванным другими частями траловой системы из-за достаточного их удаления. С учетом вышеупомянутых упрощений для определения поля давлений на поверхностях траловой доски достаточно знать скорость (в векторной форме) перемещения всех точек поверхностей относительно воды в трехмерном пространстве. В свою очередь, для определения скорости любой из точек на поверхностях доски достаточно знать скорость поступательного движения центра масс и три угловые скорости вращения доски вокруг осей декартовой системы координат с началом в центре масс. Для каждого типа траловой доски производится моделирование методом расщепления для всех возможных комбинаций поступательных и угловых скоростей с заданным шагом дискретизации (определяется путем сравнения с имеющимися данными на основании необходимой точности). По результатам каждого шага вычисляется поле давлений, а затем и внешние силы, приложенные к трем узлам доски (в модели точечных масс). В результате мы получаем шестимерную таблицу, ставящую в соответствие скоростям внешние силы. При переходе к математической модели точечных масс с использованием геометрических преобразований достаточно преобразовать мгновенные скорости трех узлов (9 вещественных значений) в поступательную и угловые скорости (6 вещественных значений) и по таблице, с использование линейной интерполяции промежуточных значений, найти значения внешних сил для трех узлов траловой доски. Для математического описания конструкции траловой доски нами предлагается кусочно-линейная аппроксимация [7] профиля всех деталей доски (крыло, предкрылки) в поперечной плоскости сечения с заданной степенью дискретизации, определяемой экспериментально с учетом заданной погрешности вычислений (например, 32). При этом условимся, что профили любого поперечного сечения идентичны. Такая математическая модель приемлема для описания большинства применяемых траловых досок. Поперечный профиль предлагается определять методом кусочно-квадратичной интерполяции [8] по заданным базовым точкам (рис. 2). Рис. 2. Профиль детали в поперечном сечении с базовыми точками Для каждой детали траловой доски необходимо задать профиль, ее геометрические размеры (размах, хорда), положение относительно других деталей и другие характеристики (рис. 3). Необходимо также задать положение точек крепления ваера и лапок. Рис. 3. Характеристики траловой доски, деталей оснастки и точек крепления ваера и лопаток По предложенному алгоритму построения математической модели авторами была разработана компьютерная программа «Конструктор крыловидных траловых досок». Пример трехмерного отображения математической модели траловой доски с крылом и четырьмя предкрылками, созданной в программе, показан на рис. 4 и 5. Рис. 4. Вид сверху поверхностей траловой доски и координатной сетки Рис. 5. Вид снизу поверхностей траловой доски Данная компьютерная программа позволяет создавать трехмерные модели прямокрылых траловых досок с произвольным количеством и положением предкрылок с указанием характеристик крыла и предкрылок, а также точек крепления лопаток и ваера, которые в дальнейшем можно использовать для их моделирования в составе траловой системы. Заключение Для численного моделирования траловых систем методом точечных масс предложено математическое описание распорной траловой доски разноглубинной траловой системы. Данный метод позволяет оптимизировать имитационную модель траловой системы для вычислений с использованием параллельной архитектуры графического процессора. Математическая модель распорной траловой доски, разработанная по предложенному математическому описанию, позволяет представить зависимости силовых характеристик доски от ее пространственных и кинематических характеристик в табличном виде и использовать таблицы в процессе моделирования траловой системы в реальном времени взамен полного вычисления гидродинамики траловой доски по системам уравнений Навье - Стокса на каждом шаге моделирования, значительно уменьшив тем самым трудоемкость вычислений. Для построения таблиц предлагается использовать метод покоординатного расщепления уравнений Навье - Стокса, позволяющий вычислять поле давлений по полю скоростей на поверхностях траловой доски. Для каждого типа траловой доски для всех возможных комбинаций линейных и угловых скоростей с заданным шагом дискретизации вычисляется поле давлений, а затем и внешние силы, приложенные к траловой доске. Полученная шестимерная таблица ставит в соответствие скоростям внешние силы.