Введение В соответствии с задачей, поставленной в настоящей работе, конструкции зданий и сооружений на грунтовом основании с крановыми нагрузками в расчетном анализе сейсмической безопасности являются комплексными системами, конечно-элементное моделирование которых осуществляется на иерархической основе, в которых грунтовое основание и подземная часть зданий и сооружений является первичной подсистемой, надземная - вторичной, а крановые конструкции на крановых рельсовых путях являются подсистемами 3-го уровня. Известен опыт, когда отдельные подсистемы объединяются в математические модели [1], в частности, подземная и надземная части зданий выступают как первичные системы, а краны моделируются упрощенной моделью, характеризующейся только массогабаритными характеристиками. На основе такой конечно-элементной модели (КЭМ) ведется расчетный анализ сейсмической безопасности первичной системы, имеющий целью оценку прочности и устойчивости здания, а для крановых конструкций расчетными методами определяется поэтажный вклад сейсмических ускорений, так называемая поэтажная акселерограмма, на основе которой осуществляется детальный расчет сейсмостойкости только крана с транспортируемым грузом. Математическая КЭМ как системы со многими (n) степенями свободы для целей решения задачи представляется матричным линейным уравнением движения n-го порядка: , (1) где - матрицы сосредоточенных (с), распределенных (р) масс и матрица жесткости; и его производные - вектор неизвестных перемещений; gз - коэффициент потерь [2]: , (2) где dз - логарифмический декремент затухания колебаний конструкций, а x - коэффициент относительного демпфирования: x £ 0,02÷0,04 (dз = 0,125÷0,25) для стальных конструкций, x £ 0,05÷0,08 (dз = 0,32÷0,5) для железобетонных. Векторы в правой части уравнения (1) означают статические, динамические и кинематические, в том числе сейсмические, нагрузки, в которых - трехкомпонентная акселерограмма на дневной поверхности, м/с2. При учете нелинейных факторов - сил трения заторможенных ходовых колес (ХК) крана, односторонних связей стальных канатов и включающихся связей (реборд ХК в контакте с рельсом) и пр. - в левую часть уравнения (1) следует ввести нелинейный член . Теперь становится очевидным, что для формирования конечно-элементного уравнения (1) требуется программная среда с базовыми конечными элементами (КЭ) (рис. 1, а-е), удовлетворяющими условиям КЭМ промышленных сооружений (рис. 2, а-б) и крановых конструкций зданий. а б в г д е Рис. 1. Базовые КЭ для конечно-элементного моделирования зданий с крановыми нагрузками: а - массивный и тонкостенный стержни стержневого КЭ открытого и замкнутого профиля; б - двухмерная тонкостенная пластина Кирхгофа; в, г - трехмерные КЭ: тетраэдр и 8-угольный КЭ гексаэдр; д, е - примеры моделируемых балок (д - двутавровой подкрановой; е - крановой) а б Рис. 2. Расчетно-динамическая конечно-элементная модель промышленного здания: а - общий вид; б - разрез по строительной оси, где на отметках +8,0, +16,5 и +23,0 расположены мостовые краны Конечные элементы стержней Если учесть, что основополагающей характеристикой отдельного jk КЭ являются жесткостные характеристики, то матрицу жесткости тонкостенного стержня в местной системе координат (МСК) представим в виде , (3) отдельные блоки которой приведены в следующих матричных формулах, в которых, кроме известных величин (E, G, Jx(y,d), L), J ω - секториальный момент инерции тонкостенного стержня, м6, характеризующий величину бимомента: (4) (5) (6) Если Jω равен нулю, то блоки (4)-(6) будут иметь ранг 6 ´ 6, а сами матрицы будут характеризовать только массивный стержень (см. рис. 1, а). Более полную конечно-элементную характеристику тонкостенных стержней можно найти в работах [3, 4]. Аналогично матрице жесткости (3) в следующих матричных формулах приведены блоки матрицы распределенных масс КЭ тонкостенных стержней в МСК, в которых r - плотность материала КЭ jk, а , где Т - индекс транспонирования матрицы: (7) (8) (9) Теперь можно указать, что уравнение движения (1) со многими (n) степенями свободы сформировано в общей системе координат (ОСК), для чего матрицы жесткости и масс отдельного jk КЭ типа (3) переводятся с применением матрицы преобразования координат в ОСК: , на основе которых, здесь и далее, методом суперпозиции формируются матрицы жесткости и масс полной системы, для получения которых дополнительно требуются КЭМ двух- и трехмерных КЭ (пластины, тетраэдров и гексаэдров). Отсюда следует, что пролетные балки мостовых кранов могут быть смоделированы как стержневой аппроксимацией, так и пластинчатой, что, как правило, требуется для кранов, используемых на объектах использования атомной энергии [5], и других кранов 1 класса ответственности, согласно ГОСТ 28609 [6]. Двумерные конечно-элементные модели пластин По оценке авторов [7], расчет тонкостенных металлоконструкций грузоподъемных кранов из стержней, пластин и оболочек является одним из наиболее сложных приложений метода конечных элементов (МКЭ) в механике деформируемого твердого тела. Несмотря на наличие большого числа приведенных в [8, 9] публикаций по этому вопросу, построение эффективных конечно-элементных аппроксимаций для пластин и оболочек металлоконструкций грузоподъемных кранов, по-видимому, не завершено [9, 10]. Четырехузловой (i = 1, 2, 3 и 4) пластинчатый КЭ (рис. 3, а) имеет по пять степеней свободы в каждом узле (u, v, w, qxi, qyi) и состоит из компонентов двухосного плоского напряженного элемента [11] и пластинчатого элемента Кирхгофа [12], деформации которого определяются перемещениями wi из плоскости пластины и угла поворота его узлов (рис. 4, а). а б в Рис. 3. Расчетно-динамическая модель мостовых кранов на основе базовых КЭ стержней, пластин и трехмерных тетраэдров и гексаэдров (см. рис. 2, б): а - кран 160/30 т пролетом 33,6 м (отм. +23,0 м) (n = 3 486); б - кран 20/5 т пролетом 32 м (отм. +16,5 м) (n = 51 396); в - кран 20/3,2 т пролетом 28,5 м (отм. + 8,55 м) (n = 29 646) а б в г Рис. 4. Четырехузловой пластинчатый КЭ с пятью узловыми степенями свободы: а - общий вид КЭ тонкой пластины; б - нормализованные координаты функции формы ξ и η пластины первого (линейного) порядка; в - то же, элемент со сторонами 1-го и 3-го порядков; г - нормализованные координаты функции формы по грани - элемент первого порядка; то же, по грани - элемент третьего порядка Таким образом, матрицы жесткости и масс пластинчатого КЭ порядка 20 ´ 20 получают путем сложения матриц жесткости и масс плоского пластинчатого элемента и пластинчатого элемента Кирхгофа со следующими основными характеристиками: - стороны пластинчатого КЭ остаются прямыми, когда элемент деформируется в плоскости; - используется теория тонких пластин Кирхгофа, которая пренебрегает поперечными деформациями сдвига (рис. 4, а), что может являться важным, если пластина имеет толщину большую, чем 1/10 ее ширины (т. е. для толстых пластин). Поле перемещений плоского пластинчатого элемента запишем в виде узловых перемещений ui и vi и функций формы, которые определяются в нормализованных местных координатах x и h (рис. 4, б): , (10) в которых функция формы имеет вид , (11) где N1 = (x - 1)(h - 1); N2 = (1 - x)h; N3 = xh; N4 = (1 - h)x при 0 £ x, h £ 1 (рис. 4, б). При единичных перемещениях узлов плоской пластины ее матрица жесткости рангом 8 ´ 8 принимает вид [13, 14] (12) где a, b и h - длина, ширина и толщина пластины по осям x, y, z; |J| - детерминант матрицы Якоби [13, 14]; [D] - матрица материала пластины, в которой m - коэффициент Пуассона: , (13) а [B] в (12), с учетом функций формы (11), - матрица деформаций-перемещений: . Очевидно, что после раскрытия матрицы (12) до ранга 20 ´ 20 ее отдельные блоки примут соответственно вид матричных формул и [15]: ; (14) , (15) в которых ; . Подчеркнем, что матрица жесткости (12) представляет собой реакцию пластины в условиях плоского НДС, т. е. от двух из пяти единичных перемещений каждого узла в плоскости пластины, представленных на расчетной схеме КЭ пластины (рис. 4, а), как ui, i = 1, 2, 3, 4 и vi, i = 1, 2, 3, 4, где i - нумерация узлов пластины. Поле перемещений пластинчатого элемента Кирхгофа, аналогично (10), запишем в виде узловых перемещений и функций формы Эрмита [16, 17] в нормализованных местных координатах x и h (рис. 4, в, г) в условиях пространственного деформирования: , (16) где, по предложению О. Зенковича [18], принято (рис. 4, б) (17) (18) (19) (20) Если функции формы из (16), выраженные через координаты узлов на границе элемента, известны в нормализованных координатах аналогично (11), то переход к первоначальной системе координат и преобразование различных выражений, встречающихся, например, при определении жесткости пластины, можно осуществить с помощью соотношений (17)-(20), на основе которых функции формы пластинчатого элемента Кирхгофа из (16) при пространственном деформировании примут вид [15] при (21) в частности, элемент второго порядка (рис. 4, в, г): - угловые узлы: ; - узлы на сторонах: где - новые переменные (), позволяющие записать все функции формы в виде одного выражения: . Выражения для узлов на других сторонах определяются при замене переменных. Далее матрица жесткости для пластинчатого элемента Кирхгофа, аналогично (12), в величинах местных координат x и h (17)-(20) выражается интегралом по объему V [19, 20] рангом 12 ´ 12: (22) где [D]М, аналогично (13), матрица материала: , в которой m - коэффициент Пуассона; h - толщина пластины; Е - модуль Юнга; [В] - матрица деформации (кривизны) - перемещений пластины рангом 12 ´ 3: , (23) где [N] - известная функция формы Эрмита [7, 16, 17] (21), аналогичная (11), а - дифференциальный оператор. Раскроем матрицу (22) порядка 12 ´ 12 до порядка 20 ´ 20, , заполнив нулями компоненты осевых и поперечных узловых перемещений матрицы жесткости (12) плоского пластинчатого элемента, после чего ее отдельные блоки примут вид матричных формул =, (24) =, (25) = , (26) с коэффициентом g = b/a, а , где Т - индекс транспонирования матриц. Полную матрицу жесткости пластинчатого элемента получим матричным сложением разложенной матрицы жесткости плоского пластинчатого элемента (14), (15) и пластинчатого элемента Кирхгофа (24)-(26) при пространственном деформировании: . (27) Как показывает опыт, матрица жесткости пластины (27) является одним из базовых КЭ при построении КЭМ металлических и железобетонных конструкций зданий и сооружений с крановыми нагрузками, в частности, широкое применение матрица (27) находит при моделировании листосварных оболочек коробчатого и двутавровых сечений, главных балок мостовых и козловых кранов, стреловых систем автомобильных и портальных кранов, рам манипуляторов, стальных и железобетонных несущих конструкций надземных крановых рельсовых путей [21] промышленных зданий с крановыми нагрузками и др. Как следует из уравнения движения (1), для решения динамических задач матрицу масс пластины вычислим, используя функции формы (11) и (17)-(21); матрица масс четырехугольной пластины формируется аналогично матрице жесткости (27) методом суперпозиции матриц масс для плоского элемента пластины (1) и пластины типа элемента Кирхгофа (2), которые должны быть приведены к одному рангу 20 ´ 20: , (28) где каждое слагаемое, с учетом функций формы (12) и (23) в нормализованных линейных координатах x и h, примут вид , (29) где r - объемный вес материала пластины; V - ее объем; h - толщина; |J| - определитель матрицы Якоби. Таким образом, составляющие матрицы масс (28) имеют вид матричных формул [22], в которых, как и в более ранних обозначениях, a, b, h - размеры пластины: ×. Основываясь на полученных результатах, укажем, что в зависимости от конкретного вида нагружения пластинчатые конечные элементы могут деформироваться или только в своей плоскости (возникает плоское напряженное состояние), или из плоскости (состояние изгиба), или одновременно и в своей плоскости, и из нее. В связи с этим выше рассмотрены последовательно оба случая, и для каждого из них приведены алгоритмы вычисления матриц жесткости и масс пластины. Трехмерные конечно-элементные модели упругих тел При использовании МКЭ, ввиду многообразия форм трехмерных элементов зданий и сооружений, оборудованных кранами, наиболее часто на практике используются КЭ в форме тетраэдра или гексаэдра (шестигранника) с плоскими гранями. На любой узел расчетно-динамической модели трехмерного КЭ в общем случае может быть наложено три жестких (или упругих) линейных связи. В качестве внешних воздействий принимаем сосредоточенные узловые силы, массовые нагрузки и, при необходимости, температурное и сейсмическое поля. На рис. 5, а показан четырехгранный (тетраэдальный) КЭ ijkl в ОСК OXYZ, локальные номера узлов 1, 2, 3, 4 которого соответствуют буквенным обозначениям i, j, k, l [20]. а б Рис. 5. Трехмерные КЭ: а - тетраэдр; б - гексаэдр, представленный системой пяти тетраэдров Местная система координат тетраэдрального КЭ обычно может быть такой же, как ОСК, если нет других причин в применении отдельной МСК. В данном КЭ (рис. 5, а) вектор перемещений внутренних точек тетраэдра является функцией координат x, y, z его узлов и интерполируется функциями формы следующим образом: , (30) где транспонированный вектор узловых перемещений КЭ представлен как , откуда следует, что полное число степеней свободы тетраэдра равно 12. Матрица функций формы в (30) с использованием диагональной единичной матрицы имеет вид . (31) Для ее определения следует использовать объемные координаты [22], после чего, с учетом (30) и (31), матрица жесткости тетраэдра, не зависящая от текущих координат, примет вид [19] , (32) где [D] - матрица упругости изотропного материала КЭ тетраэдра рассчитываемой пространственной конструкции, определяемая по выражению . Кроме того, в (32) [B] - матрица деформаций, выраженная с учетом (31) через дифференциальный оператор [¶]: . Дополнительно укажем, что в расчетной практике матрица жесткости тетраэдра (32) рекомендуется [20] для получения приближенного значения матрицы жесткости шестигранного КЭ (рис. 5, б), для вычисления которой следует учитывать, что число независимых вариантов разбиения шестигранника на пять тетраэдров равно двум: 2136-4183-5168-7386-6138 (рис. 5, б), и, следовательно, вычисление матрицы жесткости гексаэдра следует произвести для десяти перечисленных тетраэдров, а их сумму разделить пополам. В результате усреднения получим матрицу жесткости шестигранного гексаэдра. Для решения динамических задач, как это видно из предыдущих решений, КЭМ матрицы масс тетраэдра вычислим, используя функции формы (31), на основе которых матрица масс трехмерного тетраэдра примет вид интеграла по объему V, аналогичного (29): , (33) где Nij, i = j = 1, 2, 3, 4 определяются с использованием объемных координат [22]: , после чего матрица масс (33) тетраэдрального КЭ примет вид матричной формулы . Следует иметь ввиду, что при практических расчетах для совмещения матриц масс и жесткости пластины и тетраэдра ранг матрицы масс 12 ´ 12 должен быть раскрыт до 20 ´ 20, как это выполнено в матрицах жесткости (27). Матрица масс гексаэдра имеет вид, аналогичный (33): , (34) с той лишь разницей, что функции формы [N] типа (31) имеют размерность 24 ´ 24. Интеграл, приведенный в (34), обычно вычисляется на основе формулы Гаусса. Если гексаэдральный элемент представляет собой прямоугольник с размерами a ´ b ´ c, тогда детерминант матрицы Якоби в (34) представляется как det|J| = a ´ b ´ с = V, после чего матрица масс гексаэдра может быть получена, как это приведено в [22], в виде матричной формулы × . Выводы и рекомендации В заключение укажем, что пользователи различных программных продуктов тяготеют ко все большему усложнению конечно-элементных моделей сооружений, в том числе грузоподъемных кранов. В частности, за последние годы популярными стали расчеты каркасов зданий с крановыми нагрузками совместно с грунтовыми основаниями подземных частей зданий [1-3]. Как отмечают некоторые авторы [3, 4, 8, 18], раздельный расчет при доступности и массовой распространенности мощного программного инструментария проектировщика выглядит не только как анахронизм, но в сообществе проектировщиков рассматривается почти как неприличное на профессиональном уровне поведение. В связи с этим следует особое внимание уделять сочетанию в расчетных схемах (моделях) различных конструктивных элементов (см. рис. 3, а-в), в математической постановке относящихся к одномерным (стержневым), двумерным (плитным и пластинчатым) и трехмерным (в частности, гексаэдрам), в особенности в местах соединения матриц жесткости и масс различной размерности, чему посвящен целый ряд важных публикаций [8-10], из которых следует правило: при стыковке КЭ различной размерности нельзя полагаться на формальный инструмент, предоставляемый программами. Как правило, для сохранения корректности расчетной модели требуется более детальный анализ условий сопряжения КЭ элементов разной размерности, стержневых элементов - 14 ´ 14, пластин - 20 ´ 20, гексаэдров - 24 ´ 24.