ВведениеСовременный этап развития автономных необитаемых подводных аппаратов (АНПА) характеризуется ужесточением требований к точности их движения, прежде всего к допустимым отклонениям от заданной траектории. Это обуславливает необходимость повышения точности определения координат АНПА и приводит к использованию нескольких измерительных каналов одновременно [1]. В настоящее время широкое распространение получили комплексные методы навигации, основанные на объединении и оптимальной обработке информации, поступающей от различных непрерывных и дискретных источников навигационных данных [2–5]: инерциальной навигационной системы (ИНС), спутниковой системы навигации (ССН) и т. д. Оптимальное определение положения АНПА должно базироваться на совместной обработке всех доступных измерений, а не на раздельном использовании отдельных подсистем.Эффективным инструментом решения задач комплексирования измерительной информации является фильтр Калмана [6–10], однако его применение в рассматриваемых задачах усложняется тем, что используемые измерительные средства могут функционировать как в непрерывном, так и в дискретном режимах времени [11].Задачи комплексирования непрерывных и дискретных измерительных каналов естественным образом возникают в классе нестационарных систем управления конечным состоянием [12], отличительной особенностью которых является наличие терминальных условий. Для таких систем задача оптимальной непрерывно-дискретной фильтрации приводит к построению непрерывно-дискретного фильтра Калмана, который представляет собой динамическую систему, принимающую на вход непрерывные и дискретные измерения, а также известные управляющие воздействия, и формирующую на выходе оптимальную оценку вектора состояния исходной системы. В классической теории линейной оптимальной фильтрации предполагается, что шумы в каналах измерения являются белыми гауссовскими случайными процессами с невырожденными матрицами интенсивностей [13]. На практике возникают ситуации, когда точность отдельных измерительных каналов значительно превышает точность остальных, и влиянием шумов в таких каналах можно пренебречь. В этом случае возникает необходимость построения оценки состояния по измерениям с вырожденной матрицей интенсивностей шумов [14, 15]. Решение данной задачи приводит к синтезу оптимального наблюдателя, характерной особенностью которого является уменьшение порядка динамической части оценщика по сравнению с порядком исходной системы [16]. Это позволяет не только корректно учитывать наличие точных измерений, но и снижать вычислительные затраты при реализации алгоритма оценивания.Целью статьи является разработка математической модели оптимальной вырожденной непрерывно-дискретной оценки состояния линейной системы управления АНПА в условиях совмещенного использования точных и зашумленных измерений, позволяющей снизить вычислительные затраты и повысить точность навигации по сравнению с применением только непрерывных измерений.  Задача вырожденного непрерывно-дискретного оцениванияМодель  непрерывно-дискретной  системы   при  действии случайных возмущений представляется системой непрерывно-дискретных уравнений со скачками  где   – вектор состояния;  – векторы детерминированных непрерывных и дискретных управляющих воздействий;   – векторы непрерывных и дискретных случайных возмущений, которые центрированы, некоррелированы между собой и вектором начального состояния;  – известные матричные функции           (4)где   – множество моментов времени.Предполагается, что вектор состояния x(t) измеряется на всем рассматриваемом интервале и в дискретные моменты  . Векторы непрерывных и дискретных измерений определяются соотношениями             (5)где   – мерные векторы непрерывных и дискретных измерений соответственно;   – векторы ошибок (шумов) измерений, которые являются случайными процессами и последовательностями типа гауссового белого шума;   – известные матрицы измерений.Если часть непрерывных и дискретных измерений осуществляется точно, то уравнения непрерывных измерений могут быть представлены в видегде   – мерные векторы точных и зашумленных измерений соответственно;   – случайный процесс типа белого шума с известными  , причем матрица интенсивностей   предполагается невырожденной;   – известные матричные функции времени, причем матрица   имеет полный ранг на всем интервале рассмотрения системы [t0, tf] и непрерывную вторую производную по t. Дискретные измерения, производимые в моменты , удовлетворяют уравнениямгде   – векторы точных и зашумленных дискретных измерений;  – белый шум с известными  , причем матрица   предполагается невырожденной;   – известные матричные функции, причем предполагается, что матрица   имеет полный ранг (что не приводит к потери общности) для всех рассматриваемых значений аргумента k, и, кроме того, выполняется требование полноты ранга блочной матрицы .Если рассмотреть полный вектор непрерывных измерений  , то шум измерения можно представить в виде составного вектора   с матрицей интенсивностей вида .                (10)Матрица интенсивностей шума полного вектора дискретных измерений   имеет следующий вид: .               (11)В общем случае, когда матрицы интенсивностей шумов RH(t), Rg(k) имеют произвольную структуру, но являются вырожденными матрицами рангов m2H , m2g соответственно, всегда можно выполнить преобразование исходных векторов измерения и выделить подвекторы точных измерений.Задача оптимального непрерывно-дискретного оценивания состояния по точным и зашумленным измерениям формулируется следующим образом. Необходимо построить линейную несмещенную оценку x(t)  вектора состояния линейной непрерывно-дискретной системы (1)–(3) в текущий момент времени t  [t0, tf]  по результатам его измерения (6)–(9) на интервале [t0, tf] , оптимальную в смысле минимума критерия          (12)где  – ошибка оценки.Так как матрица интенсивностей шумов непрерывных измерений RHt  является вырожденной, то использование алгоритма непрерывно-дискретного фильтра Калмана для решения рассмотренной задачи невозможно. Рассматриваемая задача является задачей вырожденного непрерывно-дискретного оценивания.Полученная математическая модель является основой для дальнейшего решения задачи оптимального оценивания с вырожденной матрицей интенсивности шумов измерения с использованием принципа двойственности [16], который позволяет при готовом решении задачи оптимального управления построить на его основе решение двойственной задачи оценивания.  Задача оптимального детерминированного управления линейной нестационарной непрерывно-дискретной системой с вырожденным квадратическим критерием качестваДвойственной задачей для задачи оптимального оценивания с вырожденной матрицей интенсивностей шумов измерения является задача оптимального управления с вырожденным квадратическим функционалом (с вырожденной матрицей квадратической формы при управлении в интегральном члене квадратического функционала). Данная задача в классе непрерывно-дискретных систем является двойственной к указанной задаче оценивания состояния линейной непрерывно-дискретной системы по точным и зашумленным измерениям. Рассмотрим постановку задачи линейно-квадратического детерминированного управления для класса непрерывно-дискретных систем. Пусть динамика непрерывно-дискретной системы описывается уравнениямигде   – векторы непрерывных и дискретных управлений; множество моментов времени θ определяется соотношением (4). Решением рассматриваемой системы является векторная функция аргумента t, непрерывно-дифференцируемая и удовлетворяющая на интервалах (tk, tk+1)  дифференциальному уравнению (13) и претерпевающая скачки в моменты tk  θ , удовлетворяющие уравнению (14).Задача оптимального управления может быть сформулирована следующим образом. Требуется найти управления uH(t) , ug(k)  из класса кусочно-непрерывных и кусочно-постоянных функций, доставляющие минимум квадратическому функционалу, определенному на решениях системы (13)–(15), следующего вида:            (16) где   – заданные симметрические неотрицательно определенные матрицы соответствующих размерностей; RH(t),  Rg(t)  – симметрические положительно определенные матрицы, SH(t) , Sg(k)  – матрицы соответствующих размерностей, удовлетворяющие условиям неотрицательности функционала для любых x, uH, ug.Оптимальные управления uH(t) , ug(k)  в рассматриваемой задаче определяются методом динамического программирования в рамках задачи линейно-квадратичного оптимального управления следующими соотношениями:  отражающими закон управления в виде обратной связи (здесь и ниже # означает операцию псевдообращения матрицы), где матрица P(t)  удовлетворяет матричному непрерывно-дискретному уравнению Риккати  В практике проектирования оптимальных систем управления большое внимание уделяется задачам, которые получили название вырожденных, или задач с особыми или сингулярными управлениями.В линейно-квадратической задаче такая ситуация возникает, если вырожденной является весовая матрица для управления в интегральном члене квадратического функционала качества. С практической точки зрения вырожденная постановка в линейно-квадратической задаче означает, что все или некоторые компоненты вектора управления могут принимать произвольно большие значения, не оказывая при этом влияния на значение функционала. Постановка, близкая к вырожденной, возникает, когда величины некоторых сигналов не сказываются существенно на стоимости общих затрат на управление по сравнению с другими. Линейно-квадратические задачи с вырожденной матрицей квадратической формы при управлении возникают при построении следящих систем высокой точности. Сформулируем вырожденную задачу оптимального управления линейной детерминированной непрерывно-дискретной системой с квадратическим критерием качества.Предположим, что на интервалах непрерывности tk < t < tk+1  динамика системы описывается дифференциальным уравнением видагде   – полный вектор управления;   – сингулярный подвектор управления;   – несингулярный подвектор управления; AH(t)  – непрерывно-дифференцируемая матричная функция; BsH(t) , BNH(t)  – известные матричные функции, причем BsH(t)  дважды непрерывно-дифференцируема и имеет полный ранг на всем интервале [t0, tf] . В дискретные моменты состояние претерпевает скачок в соответствии с уравнением (14). Необходимо определить оптимальные управления usH(t) , uNH(t) , ug(k) , доставляющие минимум квадратическому функционалу, определенному на решениях системы (17), (19) и условием (18) вида      (20) Подвектор usH(t)  управления uH(t)  не входит в функционал, и, следовательно, представленный функционал соответствует функционалу относительно uH(t)  с вырожденной матричной квадратической формой следующего вида:Вектор-функции uNH(t)  ищется в классе кусочно-непрерывных функций, а usH(t)  – в классе обобщенных функций. Использованное в (20) разбиение вектора управления на сингулярный usH(t)  и несингулярный uNH(t)  подвекторы может быть выполнено с помощью преобразования в пространстве управлений, т. к. для любой неоптимально определенной симметрической матрицы RH(t)  ранга m2H  существует ортогональная матрица T(t), такая, что T(t)RH(t)T(t)T,  имеет представленную выше блочную структуру и, определяя новый вектор управления в виде T(t)TuH(t) , можно выполнить соответствующее разбиение на подвекторы. Остальные матрицы квадратических форм определяются так же, как в невырожденной задаче. Задачи линейной оптимальной фильтрации и  линейного оптимального детерминированного управления с квадратичным критерием качества связаны соотношением двойственности. Двойственной к задаче оценивания по совокупности точных и зашумленных измерений является задача детерминированного управления линейной системой с квадратичным критерием качества, содержащим квадратическую форму относительно некоторого подвектора управлений. Пусть непрерывно-дискретная система оптимизации определяется уравнениямигде все элементы описаны выше. Определим критерий качества оценки x(t)  вектора состояния в виде         (21)где a – произвольный мерный вектор. Общая форма линейной оценки имеет вид  ,  где весовые коэффициенты u1H(τ) , u2H(τ) , ug(k)  как функции времени должны быть выбраны таким образом, чтобы оценка x(t)  была несмещенной и доставляла минимум функционалу.Для линейных непрерывно-дискретных операторов можно определить характеристическое тождество [11] с вспомогательным вектором :     где     –  операторы  исходной системы, определяющиеся соотношениями  а   – соответствующие сопряженные операторы вида  Воспользуемся предоставленным тождеством для определения уравнений сопряженной системы. Определим сопряженную систему следующими уравнениями   с граничным условием ξ(t) = a.Учитывая  определение  сопряженной  системы  и центрирование случайных шумов, получаем выражение для критерия (21) в виде    Таким образом, векторные функции   являются управляющими для сопряженной системы и должны быть выбраны так, чтобы функционал (21), определенный на ее решениях, принимал минимальное значение. Модель движения АНПА с вырожденными матрицами шумовРассмотрим пример, который демонстрирует применение теории вырожденного непрерывно-дискретного оценивания к навигационной системе АНПА. Ключевая особенность состоит в использовании высокоточных непрерывных и дискретных измерений (ССН, гидроакустика) в сочетании с точными каналами ИНС, что приводит к вырожденным матрицам интенсивностей шумов. Использование принципа двойственности позволяет свести задачу оценивания к задаче оптимального управления с вырожденным функционалом, для которого применимы стандартные методы синтеза оптимального наблюдателя с пониженным порядком динамической части оценщика, что потенциально сокращает вычислительные затраты на реализацию алгоритма.Рассматривается движение АНПА в горизонтальной плоскости вдоль оси x. К АНПА прилагается управляющее воздействие, создающее силу тяги F, а за счет воды на корпус действует сила сопротивления  , что дает дифференциальное уравнение ,                         (22)где M – приведенная масса АНПА, α(t) > 0 моделирует неизвестные компоненты гидродинамического сопротивления аппарата и может изменяться во времени вследствие изменения глубины, режима движения и внешних условий. Формуле (22) соответствует система            (23)где x(t) – координата аппарата; v(t) – продольная скорость.При переходе от (22) и (23) к уравнению вида (1), для описания непрерывной динамики между дискретными моментами tk , состояние описывается вектором x(t) = col{x(t), v(t)}, а матрицы системыи  управления  определяются,  соответственно,  каки, таким образом, рассматриваемая модель представляет собой линейную нестационарную систему, что согласуется с общей постановкой задачи оптимального оценивания. Поэтому при рассмотрении данного примера в уравнении (1) uH(t)  – продольная тяга, wH(t)  – возмущения (волновые и модельные ошибки). В дискретные моменты tk  учитывается коррекция состояния, например резкий маневр или импульсное управление балластом, по формуле (2), где для маневров «рысканье–подруливание» .Начальное состояние задается по формуле (3) ,где   определяются результатами предварительной калибровки навигации АНПА.Предполагается, что непрерывные измерения формируются с помощью ИНС и датчиком скорости, а дискретные – во время всплытия от ССН. Полные непрерывные и дискретные измерения описываются уравнениями (5).Согласно (6) и (7) разобьем непрерывные измерения на две группы. Предположим, что угол курса, определенный высокоточным гироскопом, перенесен в состояние таким образом, что один из выходов ИНС можно считать практически без шума (например, виртуальный «точный» канал положения вдоль траектории после внутренней фильтрации).Согласно (6) точный канал непрерывных измерений вдоль пути .Зашумленный канал непрерывных измерений, согласно (7): это оценка скорости по доплеровскому лагу, ν2H(t)  – белый шум с матрицей интенсивностей R22H > 0 .Дискретные измерения АНПА включают ССН при всплытии или гидроакустический маяк согласно (8) и (9).Согласно (8) точный канал дискретных измеренийэто практически точное измерение координаты при выходе антенны на поверхность.Зашумленный канал дискретных измерений (по (9)): это зашумленное измерение скорости по гидроакустическому доплеру, ν2g(k)  – белый шум с невырожденной матрицей R22g(k) .Матрица интенсивностей шума полного вектора непрерывных и дискретных измерений (10), (11) являются вырожденными, имея нулевые подблоки, соответствующие точным каналам измерений.Как отмечалось выше, задача вырожденного непрерывно-дискретного оценивания состояния АНПА формулируется как задача построения линейной несмещенной оценки x(t)  вектора состояния по всем доступным измерениям (6)–(9) на интервале [t0, tf]  с минимизацией функционала (12): .Для АНПА удобно выбирать матрицу Q(t) так, чтобы сильнее штрафовать ошибки по координате, а не по скорости, напримерсоответствует более жестким требованиям к отклонению от заданной траектории.Построенный вырожденный непрерывно-дискретный наблюдатель АНПА обеспечивает минимум средней квадратической ошибки навигации при учете точных и зашумленных каналов измерений.Двойственной к описанной задаче оценивания для АНПА является задача оптимального детерминированного управления с квадратическим критерием, определенным формулами (13)–(16). Динамика системы управления АНПА описывается уравнениями (13) и (14). Вектор управляющих воздействий   разбивается на сингулярную usH(t)  и несингулярную uNH(t)  части согласно формуле (19). Квадратический функционал для задачи управления АНПА определен формулой (20). При этом подвектор usH(t)  управления не входит в функционал, что соответствует вырожденной матричной квадратической форме RHt.  На практике для АНПА это означает, что некоторые управляющие воздействия (например, мелкие коррекции курса) практически не ограничены по энергозатратам по сравнению с основным движителем. ЗаключениеВ статье рассмотрена задача оптимального вырожденного непрерывно-дискретного оценивания состояния линейной системы управления АНПА при наличии совокупности точных и зашумленных измерений. Показано, что в практических навигационных системах АНПА вырожденность матрицы интенсивностей шумов измерений возникает естественным образом, когда часть измерительных каналов обладает более высокой точностью по сравнению с остальными, что позволяет пренебречь шумами в соответствующих измерениях. Сформулирована математическая постановка задачи вырожденного непрерывно-дискретного оценивания. На основе применения принципа двойственности получена математическая модель оптимального наблюдателя, характеризующаяся уменьшением по-рядка динамической части оценщика по сравнению с исходной системой.Разработанная модель позволяет корректно учитывать комбинированную навигационную информацию от непрерывных и дискретных источников. Для разработанной модели горизонтального движения АНПА рассмотрен пример.Полученные результаты могут быть использованы при проектировании навигационно-управляющих систем АНПА, функционирующих в условиях прерывистой доступности внешних навигационных средств. В дальнейшем планируется развитие полученных результатов в направлении синтеза алгоритмов оптимального вырожденного оценивания для нелинейных моделей движения АНПА.