ВведениеМетод D-разбиения широко используется для построения областей устойчивости в пространстве варьируемых параметров различных систем автоматического управления [1–3].Реализация метода D-разбиения обычно осуществляется на основе графоаналитических процедур, основным недостатком которых является отсутствие гарантированного результата. От этого недостатка свободна реализация метода D-разбиения, основанная на численном решении уравнений, определяющих границы областей устойчивости [4–6].В работе предлагается способ численного решения уравнений D-разбиения по одному параметру. Постановка задачиРассматривается характеристический многочлен системы автоматического управления с линейной зависимостью коэффициентов от варьируемого скалярного параметра λ Î R :               (1)Кривая D-разбиения определяется уравнением a(jω, λ) = 0,                              (2)где:                (3)                                      С учетом (3) уравнение (2) можно переписать в виде                      (4)В работе рассматривается численный способ определения вещественных корней уравнения (4).Уравнение (4) эквивалентно системе уравнений                                                    (5)Для решения системы (5) могут быть рассмотрены случаи:1. Выполняется условие                                         (6)В этом случае "λ Î R характеристический многочлен (1) имеет корни на мнимой оси и, следовательно, не является асимптотически устойчивым.2. Условие (6) не выполняется, т. е. ¢W = Æ. При невыполнении условий (6) следует рассматривать следующие случаи:  2.1.                                            (7)В этом случае2.2.                                            (8)В этом случае2.3. "ω Î W1 È W2 система (5) эквивалентнасистемеследствием из которой является уравнение                    (9)  Таким образом, при линейной зависимости от параметра λ коэффициентов характеристического многочлена основная проблема заключаетсяв определении вещественных корней полиномиальных уравнений (6)–(9).  Актуальность проблемыВ настоящий момент актуальной задачей является обеспечение устойчивой параллельной работы генераторных агрегатов судовой электроэнергетической системы.Существует ряд методов определения устойчивости систем, одним из которых является метод поиска вещественных корней полиномиальных уравнений [7–10], наиболее известными из которых является метод Декарта; метод, основанный на применении теоремы Роля; и метод, основанный на применении полиномов Штурма. В работе предлагается метод определения вещественных корней полиномов, не требующий громоздких и часто плохо обусловленных преобразований многочленов, как этого требуют вышеперечисленные методы. Материалы исследованияРассматривается задача вычисления вещественных корней многочлена                                                    (10)на промежутке x Î [a, b], 0 £ a < b. К такому промежутку может быть сведен любой промежуток с помощью линейной замены переменной. Представим многочлен а(x) в виде где Тогда   возрастает на любом промежутке [a¢, b¢] Ì [a, b], а    убывает на любом промежутке [a¢, b¢] Ì [a, b] . Следовательно, для любого [a¢, b¢] Ì [a, b] :Для нахождения вещественных корней многочлена (10) на промежутке [a, b] может быть предложен следующий способ.Если                                                            (11)то на промежутке [a, b] существует по крайней мере один вещественный корень многочлена (10). Если длина промежутка [a, b] меньше заданной точности вычисления корней ε , то за значение корня может быть принята величина    В противном случае делим отрезок пополам и для каждого из полученных отрезков заново проверяем условие (11).Если условие (11) не выполняется, то проверяем выполнение условий                                                      (12) Если условие (12) выполняется, то многочлен не имеет корней на промежутке [a, b] . Действительно, пусть выполняется первое из неравенств совокупности (12). Тогда                (13)и из неравенств (12), (13) следует                    (14)Неравенство (14) означает, что многочлен а(x) не имеет корня на промежутке [a, b] .Пусть выполняется второе из неравенств совокупности (12). Тогда                    (15)и из неравенств (12), (15) следует                  (16)Неравенство (16) означает, что многочлен а(х) не имеет корня на промежутке [a, b] .В случае если на промежутке [a, b] выполняется условие (12), промежуток [a, b] исключается из дальнейшего рассмотрения. В противном случае производится деление пополам промежутка [a, b] и проверка для каждого из полученных промежутков выполнения условий (11) и (12). Покажем, что предлагаемый способ приводит за конечное число шагов к определению всех вещественных корней многочлена (10) с заданной точностью ε.Доказательство проведем методом от противного. Пусть на каждом k-м шаге разбиения существует промежуток, для которого не выполняются условия (11) и (12). Это означает, что существует последовательность вложенных промежутков  , для каждого из которых не выполняется неравенство (12). Поскольку длины промежутков уменьшаются в два раза при каждом увеличении k, то промежутки последовательности    стягиваются в точку γ0 Î [αkβk], k = 1, …, ∞. Точка γ0 не является корнем многочлена (10), т. к. в противном случае для достаточно больших k выполнялось бы условие (11). Пусть для определенности a(γ0) > 0. Для случая a(γ0) < 0 доказательство аналогично. Случай a(γ0) = 0 невозможен, т. к. γ0 не является корнем многочлена a(s) . Неравенство a(γ0) > 0 эквивалентно неравенству                                                      (17)Рассмотрим последовательность   ε-окрестностей точки γ0 , стягивающуюся к точке γ0 . В силу непрерывности многочленов a(x͂) и a(x͌)                   (18)Из (17) и (18) следует:                                     (19)Из (19) следует, что существует окрестность D0 точки γ0, в которой выполняется неравенство                                     (20)Неравенство (20) справедливо для любого подмножества D͂0 множества D0 :                                    (21)поскольку для подмножества наименьшее значение может только возрасти. Поскольку точка γ0 является предельной для последовательности отрезков   , то в любой ее окрестности, в том числе и в окрестности D0 , существуют отрезки последовательности  . Обозначим один из таких отрезков    Тогда из (21) следует, что                                              (22)и в то же время поскольку   , то                                             (23)Противоречие соотношений (22) и (23) доказывает утверждение о том, что за конечное число шагов предлагаемый метод позволяет вычислить все вещественные корни многочлена α(x) с заданной точностью ε.ЗаключениеПредлагаемый усовершенствованный метод D-разбиения предназначен для выбора параметров, обеспечивающих устойчивость системы.Традиционный метод D-разбиения основан на предположении о том, что обычно искомые множества   представляют собой объединение областей  . В частности, это имеет место для линейных систем с линейной зависимостью от параметров. В этом случае задача построения областей устойчивости может быть сведена к задаче определения границы Гik каждой из областей    и указания, с какой стороны от границы лежат точки искомой области.Данный метод D-разбиения заключается в том, что записываются и решаются уравнения, определяющие объединение границ   областей  , таких как  , где z(λ) – число нулей характеристического полинома справа от мнимой оси, соответствующего параметру λ.Поиск множества Λi происходит с помощью правил штриховки границ и перебора множеств  . В искомые множества Λi входят те множества  , для которых λ = 0. Проверка последнего условия производится для одного из элементов множеств Полученные уравнения определяют параметры элементов системы, при которых обеспечивается устойчивость параллельной работы судовых генераторных агрегатов. В свою очередь, предложенный метод позволяет прогнозировать возникновение аварийных ситуаций в судовой электроэнергетической системе.