Введение Организация производственных процессов – обширная область, для исследования проблем в которой разработаны разнообразные модели, базирующиеся на применении методов математического программирования, статистических методов. Информационный подход к моделированию систем позволяет в реальных условиях уточнить алгоритм или упростить и ускорить процедуру поиска решения посредством метода цепи массового обслуживания [1–8]. К таким цепям могут быть сведены как чисто производственные (технологические) процессы, так и процессы обработки информации в телекоммуникационных и вычислительных комплексах. Обычно потоки заказов (требований) на обслуживание в таких цепях принимаются пуассоновскими (описываются законом Пуассона), т. е. без учета последействия, а сами цепи рассматриваются как марковские, что справедливо лишь в весьма ограниченном числе случаев [9–15]. Цель статьи – упростить и ускорить обработку заказов за счет применения информационного моделирования технологических процессов. Для решения поставленной цели необходимо модифицировать систему уравнений, справедливую для любых систем массового обслуживания.Информационное моделирование технологических процессовПростейший (пуассоновский) поток с интенсивностью λ характеризуется экспоненциальным распределением плотности вероятности (1)(t – время), которая в информационных терминах представляет собой материальный (информационный) ток в цепи (рис. 1), где сущность Н = 1, сопротивление τ = 1 / λ, а емкость n = 1. абРис. 1. Минимальная информационная цепь: а – первоначальная; б – после преобразованияFig. 1. Minimal information circuit: а - initial; б - after conversion Уравнение такой цепи при начальных условиях I(0) = H / τ = λ имеет решение, совпадающее с пуассоновским распределением.Однако полная минимальная информационная цепь, как было показано, кроме сопротивления τ и емкости n, обладает еще и ригидностью L, в которой выражается ее последействие (рис. 1, б). Кроме того, и емкость n, характеризующая неординарность потока, может иметь в общем случае значение, отличное от единицы. Уравнение (1) для такой цепи преобразуется в (2)как в простейшем потоке. Емкость и неординарность потоков позволяют определить все входящие в них вероятности для произвольных цепей массового обслуживания.В то же время можно обойтись и без псевдосотояний, если вместо уравнений Колмогорова написать систему.При начальных условиях I(0) = 0 и имеет решение при δ >1; при δ >1,где Т – время потока D – дисперсия промежутка времени между заявками.Таким образом, уравнение (2) и его решения аппроксимируют широкий класс пакетов заявок с различными интенсивностями λ и дисперсиями D, включая пуассоновский поток, для которого и В результате описание широкого класса систем массового обслуживания с последействием и неоднородностью сводится к системе уравнений типа (2), отличающихся от обычно применяющихся в марковских цепях уравнений Колмогорова слагаемыми I / dt и L / dt.Например, если граф состояний простейшей системы массового обслуживания имеет вид, показанный на (рис. 2), то, по Колмогорову, для марковской цепи имеем где p0 – вероятность того, что система свободна; p1 – вероятность того, что система занята; λ, Dλ – интенсивность и дисперсия потока их выполнения; μ – интенсивность перехода системы в обратное состояние. Рис. 2. Граф простейшей системы массового обслуживания: а – первоначальная; б – после преобразованияFig. 2. Graph of the basic queuing system: а - initial; б - after conversion При тех же условиях, но в цепях с последействием и произвольными потоками появляются еще псевдосостояния, поскольку передаточная функция цепи на рис. 1, б приводится к произведению передаточных функций цепей на рис. 1, а при условии и .Таким образом, имеем Эти соотношения, подобные уравнениям Колмогорова, справедливы для любых дисперсий в пределах , а не только , как в простейшем потоке. Они позволяют определить все входящие в них вероятности для произвольных цепей массового обслуживания.Если вместо уравнений Колмогорова написать систему то можно обойтись и без псевдосостояния, также справедливую при любых значениях дисперсии в оговоренных пределах. Если же снять всякие ограничения на дисперсию потока, то для произвольного случая, не прибегая к псевдосостояниям, получаем систему из уравнений вида где m – ближайшее к k большее целое число; Это уравнение представляет собой обобщение уравнения Колмогорова на случай потоков Эрланга нецелой степени, т. е. на случай потоков с любым последействием.В последнее время уделяется большое внимание решению вероятностных задач, связанных с работой систем массового обслуживания. Задача теории массового обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания от входных показателей. Установить такие зависимости можно только для простых систем массового обслуживания. Изучение реальных систем проводится путем моделирования их работы с применением метода статистических испытаний [16–20]. Анализ систем массового обслуживания упрощается, если в системе протекает марковский процесс, тогда систему можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а предельные вероятности – линейными алгебраическими уравнениями. В дальнейшем планируется не только составить уравнения Колмогорова, но и решить его для задачи моделирования транспортного потока на нерегулируемом пересечении, а также вычислить основные характеристики (средние длины очередей, среднее время ожидания в очереди) и провести анализ характеристик при различных значениях интенсивности потока.Заключение Получено уравнение, которое позволяет определять вероятности для произвольных цепей массового обслуживания.Информационное моделирование технологических процессов на основе полученных выражений представляет собой обобщение уравнения Колмогорова для случая потоков с любым последействием. Таким образом, информационный подход к моделированию систем позволяет ускорить процедуру поиска решения задачи информационного моделирования методом цепей массового обслуживания. К цепям такого рода сводятся как технологические процессы, так и процессы обработки информации в телекоммуникационных и вычислительных комплексах. Показана перспективность метода, позволяющего эффективно использовать технические средства при построении инфокоммуникационных систем.