ВведениеВ современных форсированных поршневых двигателях часто возникают колебательные процессы, приводящие к возникновению дополнительных напряжений в деталях. Достаточно хорошо изучены крутильные колебания; для судовых двигателей не меньшую опасность в ряде случаев представляют продольные (осевые) колебания коленчатого вала, при которых его сечения (и приводимые к ним массы) совершают переменные по величине и направлению перемещения вдоль оси вращения. Предложено даже нормировать их амплитуды [1, 2] и соответствующие нормативы ввести в Правила Российского морского регистра судоходства (РМРС) и Российского речного регистра (РРР). Известно, что в поршневых двигателях собственные частоты продольных и крутильных колебаний близки, в связи с чем могут возбуждаться так называемые связанные колебания. Постановка проблемыНаиболее известный алгоритм расчета продольных колебаний, основанный на итерационных вычислениях, в значительной степени аналогичен подобному алгоритму расчета крутильных колебаний [3]. Альтернативный алгоритм предусматривает непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений движения масс многомассовой системы [4, 5]. В обоих случаях одним из этапов этого расчета является разработка модели колебательной системы, включающая определение продольных податливостей еп упругих участков. Для участков классических форм (сплошные и полые цилиндры, конусы и др.) подобная задача решается аналитически при помощи формул теории упругости. Податливость участков со сложными формами (например, кривошипов) может быть определена экспериментально, расчетом по эмпирическим формулам или посредством метода конечных элементов (МКЭ). В эмпирических формулах продольная податливость кривошипа ставится в соответствие его основным размерам (рис. 1): наружным (Dкш и Dшш) и внутренним (dкш и dшш) диаметрам коренной и шатунной шеек, их длинам Lкш и Lшш, ширине B и толщине h щеки, радиусу кривошипа R и т. д.    Рис. 1. Расчетная схема для определения продольной податливости кривошипаFig. 1. Diagram for determining the longitudinal compliance of the crank Ниже приведена сводка известных эмпирических формул (в ряде случаев авторы указывали границы применимости).Формула Л. Гульемотти – Р. Маччотта [6]:                                   где С – поправка, учитывающая расположение смежных кривошипов под различными углами γк; Е – модуль упругости материала при растяжении.Исследователем П. Драминским предложены две формулы [7]:                                                                                                     (1)                             (2)где kφ = 1 + cosγк; Iшш и Iщ – моменты инерции сечений шатунной шейки и щеки; Fкш и Fшш – площади поперечного сечения коренной и шатунной шеек; G – модуль упругости материала при сдвиге.Формула, предложенная Центральным научно-исследовательским и проектно-конструкторским институтом морского флота (ЦНИИМФ) [8]:                                          Формула Г. Андерсона [6]:     где  Формула Е. Я. Горбунова [9]:                  где  Формула C. Ф. Дорея [10]:                            где коэффициент k3 принимает различные значения для составных и полусоставных валов.Формула Н. С. Скорчева [11] (применима для валов крупноразмерных малооборотных дизелей):                                 Формула В. С. Стоянова [12] (рекомендована для валов среднеоборотных двигателей):        где  kп – коэффициент, зависящий от величины перекрытия шеек.При анализе структуры формул достаточно трудно увидеть какой-либо физический смысл, лежащий в их основе. Ранее отмечалось, что результаты расчета по эмпирическим формулам существенно отличаются (то же касается и результатов расчета по соответствующим эмпирическим формулам крутильной податливости кривошипов коленчатых валов [13]). В таблице представлены сведения о податливостях кривошипов судовых двигателей, а также некоторых автомобильных двигателей, конвертируемых в судовые.Определенные по эмпирическим формулам значения продольной податливостикривошипов коленчатых валов еп × 109, м/НValues of the longitudinal compliance of crankshaft cranks eп × 109, m/N, determined by empirical formulasДвигательФормулаЦНИИМФЕ. Я. ГорбуновП. Драминский (1)П. Драминский (2)Г. АндерсонС. Ф. ДорейЛ. Гульемотти –Р. МаччоттаВ. С. СтояновН. С. СкорчевЧН 26/261,393621,084743,89761,445065,37761,65590,4535849,51191,0061ЧН 25/342,052686,90281,47352,15972,09022,97530,42211,83642,1652ЧН 18/221,75911,02961,14812,14431,64222,35510,60231,35601,6146ЧН 18/205,67111,38331,60746,31024,07405,65370,02192,30724,1820ЧН 10,5/12,79,90941,22791,41121,02245,87840,10790,07592,70296,9946ДН 23/302,689435,425467,18652,75521,44992,52590,52341,05801,8034ЧН 10,5/135,14821,54341,40405,58853,70706,30470,03981,98344,0781ЧН 15/188,92861,66641,71619,51375,87138,20140,03382,37776,1660ЧН 14/144,02191,16231,13304,12842,01513,78370,02241,58352,5854ЧН 13/143,77301,36801,22433,95801,73693,17600,06161,67692,0448 Податливость кривошипа двигателя типа ЧН 26/26, определенная расчетом по МКЭ, составила 3,3220 · 10–9 м/Н.Разница значений податливости кривошипов впоследствии приведет к такой же разнице при определении возмущающей колебания продольной силы Рос. Еще одно обстоятельство заключается в том, что все эмпирические формулы выведены для полноопорных коленчатых валов классической формы. Между тем в современном моторостроении применяются и неполноопорные валы, в том числе валы с разрезными шатунными шейками. Эмпирические формулы связывают продольную податливость кривошипа с весьма ограниченным набором его конструктивных параметров, практически не учитывается геометрическая форма щек, толщина которых может быть различной (рис. 2). Мы можем предположить целесообразность внедрения в практику, наряду с эмпирическими формулами, регрессионных уравнений, связывающих необходимое число конструктивных размеров с величиной продольной (а также и крутильной) податливости. Применение такого рода уравнений в совокупности с расчетами МКЭ должно способствовать выбору оптимальных значений указанных размеров, а также прогнозированию значений податливости в связи с их изменениями в процессе проектирования.  Рис. 2. Неполноопорный коленчатый вал двигателя 2Ч8,5/11Fig. 2. Partial bearing crankshaft of the engine 2Ч8,5/11 Цель настоящей работы – обоснование эффективности применения МКЭ для вывода регрессионных уравнений, связывающих конструктивные размеры кривошипа и его продольную податливость, а также расчета осевой силы, возмущающей продольные колебания коленчатого вала двигателей. Методы и материалы исследованияУказанные расчеты основаны на использовании твердотельных трехмерных моделей двигателей, разработанных в среде CAD-системы. При разработке моделей целесообразно предусмотреть параметризацию тех размеров, которые впоследствии будут использоваться в качестве аргументов регрессионного уравнения. В качестве примера на рис. 3 и 4 представлена трехмерная модель кривошипа двигателя типа ЧН 25/34 при различных задаваемых величиной параметра h1 значениях толщины щеки.    Рис. 3. Задание толщины щеки кривошипа при помощи параметра h1(среда приложения Autodesk Inventor Pro)Fig. 3. Setting the crank web thickness using the h1 parameter (Autodesk Inventor Pro environment)                                                                  а                                                                   б Рис. 4. Трехмерная модель кривошипа двигателя ЧН 25/34 при малом (а) и большом (б)значениях толщины щеки, определяемой значением параметра h1Fig. 4. 3D model model of the crank of the ЧН 25/34 engine with small (a) and large (б) values of cheek thicknessdetermined by the value of the parameter h1 В качестве примера будем формировать регрессионное уравнение, связывающее продольную податливость кривошипа с тремя варьируемыми конструктивными размерами – шириной и толщиной щеки, длиной шатунной шейки (число таких параметров может быть значительно бóльшим). Параметризация конструктивных параметров позволяет достаточно оперативно изменять трехмерные модели, а применение для поиска регрессионного уравнения методов планирования эксперимента [14] способствует сокращению числа виртуальных испытаний. Под такими испытаниями будем понимать расчет по МКЭ продольной податливости кривошипа под действием единичной сжимающей силы.Вывод регрессионного уравнения выполнен для кривошипа, параметры которого изменялись в пределах: 270 ≤ В ≤ 330;  38 ≤ h ≤ 98;  120 ≤ Lшш ≤ 158 (размеры указаны в мм). Полученное регрессионное уравнение имеет вид:                          Податливость вала может зависеть от таких размеров, как эксцентриситет отверстий в шейках, положение центра масс в связи с наличием противовесов, радиусы галтелей и др., которые не учитываются в эмпирических формулах. С другой стороны, регрессионные уравнения в конкретном случае могут содержать в качестве аргументов не все конструктивные параметры кривошипа, если его главные размеры (диаметры шеек, радиус кривошипа и т. д.) уже не будут в дальнейшем изменяться.Метод конечных элементов может эффективно применяться и при определении продольной возмущающей силы, которая обычно вычисляется по формуле В. С. Стоянова [12]: Pос = cZ/eп, где с – так называемый коэффициент влияния (своеобразная передаточная функция); Z – радиальная сила. Величину с определяют по весьма громоздкой полуэмпирической формуле, учитывающей размеры кривошипа и перекрытие его шеек. В работе [15] отмечено, что реализация эксперимента для определения коэффициента с весьма затруднена и его (коэффициент) определяют расчетом, базирующимся на аппроксимации кривошипа стержневыми моделями. В работе [5] проиллюстрировано, что расхождение в значениях этого коэффициента для одного и того же кривошипа достигает 22 %. В связи с различиями значений, определенных по эмпирическим формулам величин продольной податливости кривошипов, значения осевой силы (и далее напряжений от продольных колебаний) также становятся весьма различными. Предлагаемый способ расчета осевой силы основан на положении, что эта сила является реакцией корпуса на воздействие, вызванное радиальной силой. Современные программные продукты, реализующие расчеты МКЭ, позволяют определять реакции, обусловленные наложенными кинематическими и силовыми граничными условиями: на рис. 5 приведен соответствующий фрагмент интерфейса приложения ANSYS WBU.    Рис. 5. Определение реакций коренных опор двигателя 4ЧН 9,2/6,6на воздействие растягивающих кривошип радиальных сил, приложенныхк поверхностям А и В в некоторый момент времени: 1 – графическое отображение реакции;2 – текстовый вывод значений ее компонентовFig. 5. Studying the reactions of main bearings of the engine 4ЧН 9.2/6.6 to the stretching the crank radial forces exerted to the surfaces A and B at a certain point: 1 - graphic display of the reaction; 2 - text output of the component values Преимущество предлагаемого метода расчета заключается и в том, что его трудоемкость не увеличивается при усложнении конструкции кривошипа и увеличении числа нагружающих этот кривошип радиальных сил. ЗаключениеТаким образом, применение МКЭ для вычисления возмущающей силы при расчете продольных колебаний, внедрение – наряду с известными эмпирическими формулами – регрессионных уравнений для определения продольной податливости, в частности продольной податливости кривошипов коленчатых валов, представляются заслуживающими внимания и введения в расчетную практику.