ВведениеВ практике исследования и построения систем управления движением судна широкое распространение получили как линейные, так и нелинейные модели. К ним относятся достаточно простые модели, такие как модели Беха [1], Норбина [2] и др. В современной теории управления разработано множество методов исследования и построения систем различной природы и назначения. Основные задачи при этом связаны с разработкой алгоритмов и систем управления конкретными динамическими объектами. Основу для решения указанных задач составляют математические модели конкретных управляемых объектов. Построение соответствующих математических моделей, как правило, представляет собой сложную задачу. Настоящая работа направлена на построение нелинейной модели продольного движения судна. Построение модели конкретного управляемого динамического объекта или решение задачи его идентификации может быть связано с необходимостью определения аналитической структуры его уравнений (структурная идентификация) и/или нахождения параметров объекта при уже выбранной структуре (параметрическая идентификация). Решению задач идентификации посвящено множество публикаций, например [3–6]. В настоящей работе при решении задачи построения модели исследуемого объекта – морского судна – предлагается использовать степенные ряды для представления априорно неизвестной нелинейной составляющей (компоненты), входящей в математическую модель продольного движения судна. Такой подход позволяет в некоторой степени решить проблему функциональной неопределенности, связанной со спецификой влияния водной среды на движение судна.Ввиду сложности полных многомерных нелинейных моделей движения судна упрощенные, в том числе указанные нелинейные модели, получили наибольшее практическое применение при синтезе систем управления. Построение модели динамики объекта, в частности морского судна, основаны, как правило, на использовании экспериментальных данных и полученных на их основе зависимостей. В статье на примере достаточно простого объекта демонстрируется возможность построения нелинейной модели продольного движения судна. Методы и материалы исследованияДля проведения эксперимента использовался безэкипажный катер (БЭК) [4]. Экспериментальная платформа БЭК (рис. 1) представляет собой алюминиевый глиссирующий катер с катамаранными обводами корпуса асимметричного типа, с плоскими внутренними поверхностями («Split Hull») [7]. Рис. 1. Внешний вид экспериментальной платформы для безэкипажного катера Длина катера составляет 6 м, ширина 2,6 м, водоизмещение 1,3 т. Силовая установка состоит из двух подвесных лодочных моторов мощностью по 40 л. с.При разработке математической модели нужно учитывать, что динамические характеристики катера могут существенно отличаться на разных режимах движения. Используемый катер имеет несколько основных режимов движения: водоизмещающий, переходный и глиссирующий. Для сбора экспериментальных данных использовались установившиеся режимы движения на ряде фиксированных диапазонов скоростей: 1,5–2, 2,5–3, 3,5–4, 4–5, 5–8 м/с.Для сбора экспериментальных данных можно использовать различные стандартные техники маневрирования, которые были предложены на Международной конференции опытовых бассейнов (International Towing Tank Conference) и описаны в работе Тора Фоссена [8]. Это маневры: циркуляция, зигзаг, спираль, разгон-торможение и т. д. В нашем случае сбор данных происходил на спокойной воде при выполнении маневров «зигзаг» и «циркуляция», как наиболее подходящих для оценки динамики судна по курсу [9]. В процессе выполнения указанных маневров с частотой 10 Гц производилась запись необходимых параметров: скорости движения, углов скорости и текущего положения рулевого колеса. Данные скорости поступали с GPS/Глонасс приемника, а для получения данных угловой скорости использовался датчик ориентации CH Robotics UM7-LT [10]. Сущность предложенного подходаДля решения задачи идентификации использовали данные, которые были получены следующим образом. На катере задавалось значение тяги движителя Fj, после этого измерялось установившееся значение скорости катера vj, далее процесс повторялся для следующих значений Fj с измерением vj. Результаты этих экспериментов приведены на графике (рис. 2) и в табл. 1. Рис. 2. Установившиеся скорости при заданной тяге Таблица 1 Экспериментальная зависимость установившейся скорости v_j и тяги движителя FjvjFjvjFjvjFj006,54312,5550,537441360167,54513,5651,51184614702148,54714,5752.51994715803239,54815,5903,52710481610043110,54916,51054,53311501711053511,55117,51155,538125318120641Известно, что прямолинейное движение объекта может быть описано дифференциальным уравнением где m – масса БЭК (включая присоединенные массы воды); v – линейная скорость катера; F – сила тяги; – сила сопротивления водной и воздушной среды, зависящая от скорости катера; t –время.В установившемся режиме следовательно Как следует из экспериментальных данных, сила сопротивления в зависимости от линейной скорости катера v имеет существенно нелинейный характер. Это связано, в первую очередь, с изменением режима движения катера при увеличении его скорости. При относительно малой скорости v катер движется в режиме водоизмещения, при достаточно большой скорости v переходит в режим глиссирования. Очевидно, что изменение режимов движения катера отражает нелинейный характер его динамики. Поставим задачу определения связи между тягой движителя и скоростью движения катера. Для решения этой задачи воспользуемся аппаратом степенных рядов [11–13]. Предположим, что зависимость скорости движения катера от тяги движителя нелинейна. Представим силу сопротивления в виде степенного ряда (1)где N – максимальная степень ряда; коэффициенты степенного ряда.Коэффициенты c_i будем искать из условия наилучшего соответствия получаемой теоретической зависимости экспериментальным данным. Для оценки совпадения теоретической и экспериментальной зависимости зададимся квадратичным критерием вида (2)где – заданное значение силы F в j-м эксперименте; – соответствующее значение установившейся скорости катера в j-м эксперименте; коэффициенты степенного ряда. Задача теперь заключается в нахождении таких параметров (их идентификации), при которых критерий Q достигает минимума Задача оптимизации критерия Q (2) решалась в среде MS Excel с помощью опции «Поиск решения» [14–16] для Численные примерыИсследуем решение этой задачи при удержании в степенных рядах различного количества членов. В простейшем случае при зависимость (1) представляет собой линейную функцию. В результате оптимизации критерия Q найденные значения коэффициентов равны . Очевидно, что в этом случае не учитывается нелинейный характер экспериментально полученной зависимости. Полученная зависимость заметно отличается от экспериментальной, следовательно, представляется целесообразным выполнить аппроксимацию с полиномом более высокого порядка. В табл. 2 приведены теоретические значения тяги для различных значений скорости в соответствии с (1) при N = 1. Таблица 2Оценка силы тяги при N = 1vjFтjvjFтjvjFтj006,540,62512,578,1250,53,125743,751381,2516,257,546,87513,584,3751,59,3758501487,5212,58,553,12514,590,6252,515,625956,251593,75318,759,559,37515,596,8753,521,8751062,51610042510,565,62516,5103,1254,528,1251168,7517106,25531,2511,571,87517,5109,3755,534,375127518112,5637,5Математическая модель продольного движения судна в установившемся режиме при N = 1 имеет вид График полученной зависимости приведен на рис. 3. Рис. 3. Связь вектора тяги и скорости движения катера при Аналогичным образом были проведены вычисления коэффициентов ряда и теоретических значений силы тяги для N = 3 (табл. 3, 4) и N = 5 (табл. 5, 6).Таблица 3Результаты идентификации при N = 3 Полученные значенияc00c14,92073680172097c20,0126527403370123c30Таблица 4Оценка силы тяги Fmj при N = 3vjFтjvjFтjvjFтj006,532,5193674912,563,48620070,52,463531586735,065141891366,1078915414,9333895427,537,6172426613,568,735908751,57,409573868840,17566981471,3702523329,8920845658,542,740423314,574,10922282,512,38092163945,311503181576,6579186314,876085079,547,8889094315,579,311241293,517,377574881050,472642051681,97089035419,8853910510,553,0627010416,584,636865794,522,39953361155,65908641787,30916759524,9200025211,558,2617981317,589,987795765,527,44679781260,870836231892,6727503629,97991946Таблица 5Результаты идентификации при N = 5 Полученные значенияc01,07281728370862E-11c10,955249431789216c20,324434260668814c30c40c50Таблица 6Оценка силы тяги при N = 5vjFтjvjFтjvjFтj006,519,9164695112,562,633473670,50,558733286722,58402561367,2476354111,279683717,525,4137988213,572,02401431,52,162851272828,405789181476,9626103223,2082359738,531,5599966814,582,063423482,54,415837812934,876421321587,3264537835,785656799,538,355063115,592,751701223,57,3176929061041,995922011698,339165849,01194616110,545,7989980716,5104,08884754,510,868416551149,7642912617110,0007464512,8871040911,553,8918015917,5116,07486245,515,068008761258,1815290618122,3111955617,41113056График полученной зависимости при приведен на рис. 4, при – на рис. 5. Рис. 4. Связь вектора тяги и скорости движения катера при N = 3 Рис. 5. Связь вектора тяги и скорости движения катера при N = 5Математическая модель продольного движения судна в установившемся режиме при имеет вид Fm = c0 +c1v + c2v2 + c3v3, при – По результатам расчетов наибольшее совпадение с экспериментальными данными в рассмотренных случаях достигается при N = 5. Для оценки адекватности получаемых математических моделей при N, принимающей значения 1, 3, 5, воспользуемся критерием Фишера [17]. При этом требуется вычислить показатель в соответствии с формулой где n = 36 – количество экспериментов; m = 1 – количество факторов; – среднее значение Для рассмотренных значений N были вычислены значения критерия Фишера, которые приведены в табл. 7.Таблица 7Значения критерия Фишера при N = 1, 3, 5NFрасчетн1314,763228,985315,3В рассматриваемом случае при уровне значимости 0,01 табличное значение критерия Фишера, расчет которого встроен в MS Excel, составляет 7,4. Таким образом, все рассмотренные модели имеют высокую степень адекватности. Наиболее точной является модель для N = 5.ЗаключениеПредложена нелинейная модель динамики продольного движения судна. Особенностью рассмотренной модели является возможность учета смены режима движения судна (БЭК) с водоизмещающего на глиссирование. Экспериментальные данные демонстрируют существенно нелинейный характер динамики судна. Для учета нелинейного характера движения судна было предложено использование степенных рядов. Оценка, или идентификация, коэффициентов степенного ряда, который используется для аппроксимации силы вязкого сопротивления как функции скорости судна, выполнялись на основе экспериментальных данных и оптимизации критерия квадратичного типа, выражающего невязку теоретических и экспериментальных значений измеряемых переменных. С помощью критерия Фишера показана высокая степень адекватности построенных математических моделей, соответствующих экспериментальным данным.