ВведениеМатематические модели на основе систем массового обслуживания (СМО) используются во многих сферах. Многие положения анализа марковских СМО имеют аналитическое решение. Эти системы продолжают исследоваться [1–3]. Безусловно, следует отметить, что в настоящее время значительное внимание уделяется полумарковским и немарковским системам массового обслуживания [4–7]. В данной статье авторы расширяют известные положения марковских СМО. А именно, будет рассматриваться задача с предельно допустимыми нагрузками на системы обслуживания, когда требуется определить то минимальное число приборов (каналов) обслуживания, когда при высокой интенсивности входного потока требований обеспечивается практически безотказная работы СМО типа M/M/m с отказами. С наличием современных инструментальных и программ-ных средств и пакетов анализ СМО облегчается [8–13]. Для решения поставленной задачи при-нята система MATLAB. При решении задач оптимизации СМО рассматриваются различные целевые функции – функционалы оптимизации, решаются различные задачи оптимизации СМО [10–12, 14–20]. В предлагаемой работе в качестве целевой функции принимается функция двух аргументов для поиска минимума вероятности отказа в обслуживании. При этом в качестве параметра выступает количество каналов (приборов) обслуживания. Задача необходимого числа приборов, каналов обслуживания достаточно актуальна. В данной статье развивается подход оптимизации СМО, рассмотренный в [10–12]. В указанных работах существует ограничение на возможное число каналов обслуживания, вызванное тем, что в них применяются классические формулы Эрланга, содержащие вычисления факториалов числа [21–23]. Это ограничение можно обойти при использовании интеграла вероятностей или функции Лапласа для случая больших загрузок марковских СМО [24]. Приведенные в [24] положения в приложении к СМО послужили осно-вой для постановки и решения задачи оптимизации СМО с отказами в плане определения необ-ходимого числа каналов обслуживания с сохранением высокой загрузки системы. С применени-ем алгоритмов минимизации целевой функции нескольких переменных авторами в [24] показа-но, что существует некий переходный процесс до момента установления заданных параметров входного потока и обслуживания, которые по производственным и технологическим причинам не могут быть изменены.Постановка задачи оптимизации и ее решениеМарковская система с отказами в соответствии с обозначениями Кендалла описывается тремя полями с дополнением: M/M/m с отказами. Для данной системы известны аналитические решения по определению вероятностей состояния, вероятности отказов, относительной про-пускной способности и т. д. [21–23]. Однако в случае числа каналов обслуживания, превышаю-щего 170, напрямую известными формулами пользоваться не удается в силу ограничений на вычисления факториала больших чисел. Учитывая это и предполагаемую большую загрузку системы, следует воспользоваться аппроксимацией классических формул Эрланга на основе интеграла вероятностей – функции Лапласа [24]. Приведем исходные формулы для описания в стационарном режиме систем массового обслуживания с отказами: (1)где pi – вероятность того, что в системе будет i требований; m – число каналов (приборов) об-служивания;  – приведенная плотность потока заявок; λ – интенсивность входного пуассонов-ского потока;  – интенсивность обслуживания по экспоненциальному закону; p0 – вероятность отсутствия требований (заявок, запросов) в системе. При больших значениях m (m > 20) вероятность отсутствия требований в системе при-ближенно можно заменить экспонентой в результате разложения ее в конечный ряд Тейлора: (2)Для введения интеграла вероятностей (функции Лапласа) принимаются следующие обозначения: (3) (4) (5)где Ф(х) – интеграл вероятностей, или функция Лапласа: Для Ф(–х) = –Ф(х) [24].Вычитая из (3) выражение (4) и деля на (5), получим формулу для расчета вероятности со-стояний в СМО с отказами в виде (6)Соответственно, для вероятности отказов pm в обслуживании будем иметь (7)Если проследить выражения с (1) по (7), становится очевидным, что вероятность отказов зависит от трех величин: интенсивности входного потока , интенсивности обслуживания  и числа каналов обслуживания m. Но число каналов обслуживания – заранее не известная величина, в отличие от параметров входного потока и обслуживания. Поэтому предлагается рассматривать число каналов обслуживания в виде параметра, который заключен в интервале от одного до приемлемой большой величины, которая зависит от допустимых возможностей рассматриваемой СМО. Следовательно, можно сформулировать задачу минимизации вероятности отказов как функцию двух переменных , , и решать ее в виде итерационного процесса, который обусловлен изменением числа каналов обслуживания m как параметра: . (8)Переменные ,  как интенсивности входного потока и обслуживания должны быть больше нуля. Из анализа известных методов минимизации функций нескольких переменных с ограничениями следует, что, возможно, наиболее приемлемым является метод «active-set» (активный набор), который эффективен для задач средней размерности с негладкими ограничениями. Этот метод поддерживается функцией fmincon системы MATLAB [25]. Первым аргументом функции fmincon является указатель на функцию или имя анонимной функции, например f. При больших загрузках СМО приведем соотношение, связывающее интеграл вероятностей Ф(х) и функцию ошибок erf(х): (9)В свою очередь, функция ошибок erf(x) определяется по формуле (10)С учетом выражений (2)–(7) определяется выражение для правой части целевой функции (8), подлежащей минимизации. В терминах синтаксиса языка системы MATLAB вид анонимной целевой функции f будет следующим: f = @(x)(1 – (0,5 + 0,5 * erf((m – 1 + 0,5 – x (1) / x (2)) / sqrt (2))) / (0,5 + 0,5 * erf ((m + + 0,5 – x(1) / x (2)) / sqrt(2)))).Алгоритм оптимизации СМО с отказами приведен на рис. 1. Рис. 1. Схема предлагаемого алгоритма оптимизации СМО с отказамиНа рис. 1 не отражены процессы обработки контейнеров LMP, Xm, Fm, которые исполь-зуются для определения графических зависимостей и минимально необходимого числа каналов обслуживания, когда вероятность отказов будет минимальной при конечном числе каналов (устройств) обслуживания. Цикл прохода по числу каналов обслуживания позволяет накопить информацию о поведении параметров системы. В начальный вектор состояния X0 включены заданные параметры СМО. Алгоритм active-set, используемый в опциях функции fmincon, позволяет не прерывать процесс поиска оптимального решения, когда он не может быть найден. В этом случае возвращается NaN (не число), которое можно контролировать с помощью функции isfinite. Случай, когда допустимое число каналов обслуживания не пре-вышает 170, рассмотрен в [11].Модельные эксперименты оптимизации СМО с отказамиДля проверки предложенных алгоритмов по расчету минимального числа каналов обслу-живания СМО с отказами были использованы тестовые модели с параметрами, обеспечивающие высокую приведенную плотность потока заявок (требований).Параметры тестовых моделей СМО (Модель 1, Модель 2) с отказами и результаты поиска оптимального числа каналов обслуживания приведены в таблице. Результаты оптимизации тестовых моделей СМО*Параметры СМОМодель 1Модель 2Интенсивность входного потока 109,012345Интенсивность обслуживания 0,360,23Приведенная плотность потока заявок 302,8111 500Вычислительная точность1,192093e-072,220446e-161,192093e-072,220446e-16Расчетная 109,011981109,012002345,000000345,000000Расчетная 0,3656130,3604680,2307000,230126Оптимальное число приборов обслуживания3083101 5061 507Вероятность отказов при оптимальном числе приборов обслуживания0,000000e+007,102097e-130,000000e+001,219025e-13Зона недоступности оптимальных решений Загрузка СМО к оптимальному числу приборов – λ/(mμ)0,9680590,9755420,9929920,994809* Размерность интенсивности потока и обслуживания предполагаются в условных единицах.Зона недоступности оптимальных решений определяется через значения контейнера Fm (см. рис. 1), в который заносилось число приборов обслуживания, при которых функция fmincon не определяла оптимального решения. Расчетные переменные  и  определялись при опти-мальном числе приборов обслуживания, которое находилось как минимальное значение, при котором переменные целевой функции принимали свои заданные значения, которые вклю-чались в начальный вектор поиска с помощью функции fmincon. Как видно из табл., вероятно-сти отказов при оптимальном числе приборов обслуживания предельно малы. Соответственно, относительная пропускная способность будет практически равна единице. Очевидно, что за-грузка СМО к общему числу приборов обслуживания m будет стремиться к нулю при m   при конечных значениях  и .Характер изменения контролируемых переменных показан на рис. 2–5 при вычислительной точности 1,192093e-07. Рис. 2. Изменения переменных целевой функции Модели 1 Рис. 3. Изменение загрузки системы Модели 1 Рис. 4. Изменение переменных целевой функции Модели 2 Рис. 5. Изменение загрузки системы Модели 2Из приведенных диаграмм следует, что при большой загрузке системы характер изменения переменных в зависимости от числа каналов обслуживания наиболее ясно характеризуют за-висимости для тестовой Модели 2. Существует переходный период, при котором аргументы целевой функции значительно отклоняются от своих заданных практических значений, которые представляют собой параметры той или иной СМО.ЗаключениеРассмотрены возможности численной оптимизации систем массового обслуживания с отказами при большой загрузке. Получены приемлемые, на взгляд авторов, результаты для тестовых моделей СМО. Предложен эвристический алгоритм поиска минимально необходимого числа приборов обслуживания, при котором вероятность отказов предельна мала. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании СМО с отказами и с большой приведенной загрузкой.