Проблема разработки аналогово-цифровых алгоритмов для измерения основных параметров инфранизкочастотных сигналов привлекает внимание исследователей и обусловлена решением прикладных задач в области построения приемо-передающей аппаратуры. При измерении параметров таких сигналов требуется меньшее время обращения к анализируемым сигналам и обработки сигналов во времени, близком к реальному [1-9]. В работах [1-3] рассмотрены алгоритмы определения параметров гармонических сигналов за время, меньшее их периода, с использованием «классических» методов равномерной дискретизации сигналов по времени. Особый интерес представляют исследования применения в таких алгоритмах стохастической дискретизации для оптимизации работы алгоритмов в условиях определения параметров реальных сигналов с искажениями, помехами и шумами [9]. Постановка задачи и метод ее решения К настоящему времени в ряде работ [1-3] разработаны и исследованы алгоритмы определения сдвига фаз гармонических сигналов путем измерения их мгновенных значений за время, меньшее периода этих сигналов, с дальнейшей цифровой обработкой с помощью аналого-цифровых преобразователей и микропроцессоров. Для большинства разработанных алгоритмов наличие постоянной составляющей в сигналах является причиной появления дополнительных погрешностей в измерении значений сдвига фаз. Исключить подобные погрешности можно, если синтезировать алгоритмы измерения сдвига фаз не по выборкам мгновенных значений сигналов, а по конечным разностям первого порядка от этих выборок. Рассмотрим алгоритм определения сдвига фаз гармонических сигналов при времени обращения к анализируемым сигналам, меньшим их периода, включая вероятностно-статистический метод с использованием стохастической дискретизации. Полагая, что опорный x(t) и исследуемый y(t) сигналы наряду с гармонической имеют постоянные составляющие C0x и C0y соответственно, для их мгновенных дискретизированных значений и конечных разностей можем записать: (1) (2) (3) (4) (5) (6) где ω - частота гармонических составляющих сигналов x(t) и y(t); j - сдвиг фаз между гармоническими составляющими сигналов x(t) и y(t); h = ω×Δt - шаг дискретизации в угловом измерении; Δt - шаг дискретизации сигналов x(t) и y(t) во времени; i = 0, 1, 2, …, n. Найдя отношения (7) (8) и решив уравнения (7) и (8) относительно j и α0, получим выражение для определения сдвига фаз j по кривой мгновенных значений конечных разностей первого порядка Δix и Δiy: (9) где Значение сдвига фаз j, полученное по алгоритму (9), не зависит от постоянных составляющих C0x и C0y и амплитуд Am1 и Am2 сигналов x(t) и y(t). Очевидно, алгоритм (9) позволяет определить сдвиг фаз при минимальном времени обращения к сигналам, τ, равном t = 2×Dt в угловой мере 2h. Рассмотрим дальнейшее развитие алгоритма (9), который применяется при стохастической обработке сигналов [7]. Стохастическая обработка гармонических сигналов (1) и (4) для определения сдвига фаз заключается в том, что выборки мгновенных значений из сигнала осуществляются по случайному закону. Интервал дискретизации сигналов (1) и (4) во времени выбирается из равномерно распределенных, линейно преобразованных случайных чисел, расположенных в виде вариационного ряда. В работе принимаем, что время выборок из сигналов (1) и (4) распределяется по равномерному закону. Плотность распределения интервалов времени для дискретных отсчетов: при t1 ≤ ti ≤ tn , где Tm = tn - t1 - время измерения (обращения) к сигналу и при других ti.. (10) Определяем плотность распределения для x(ti) при ti, распределенном равномерно в интервале от t1 до tn, как функции от x [5, 6]: (11) Для определения сдвига фаз гармонических сигналов по алгоритму (9) используем формулу для математического ожидания значений рассматриваемых сигналов со стохастической дискретизацией во времени как случайного процесса. Постоянные составляющие сигналов можно не учитывать, т. к. они сокращаются при нахождении конечных разностей первого порядка (1)-(8). Учитывая выражения (10) и (11), имеем для сигнала (1) математическое ожидание где Для второй выборки из сигнала (1) имеем математическое ожидание [5] где Для третьей выборки из сигнала (1) имеем математическое ожидание где Используя аналогичные выражения (10) и (11), имеем для сигнала (4): где Определим математическое ожидание для второй выборки из сигнала (4) [5]: где Математическое ожидание для третьей выборки из сигнала (4): где Найдем конечные разности первого порядка из этих выборок: где Определив отношения (12) (13) и решив уравнения (12) и (13) относительно j и α0, получим выражение для определения сдвига фаз j по кривой мгновенных значений конечных разностей первого порядка Δix и Δiy: (14) где Значение сдвига фаз j, полученное по алгоритму (14), не зависит от постоянных составляющих C0x и C0y и амплитуд Am1 и Am2 сигналов x(t) и y(t). Моделирование по алгоритму и анализ результатов С целью определения погрешности сдвига фаз гармонических сигналов предложенным алгоритмом, а также для оценки алгоритма по его использованию в цифровом виде было проведено математическое моделирование. Для моделирования исследовались гармонические (синусоидальные) сигналы с частотой f = 20 Гц и амплитудой А = 10 В, описываемые функциями где ti - интервалы времени дискретной выборки и сигнала, распределенные по равномерному закону; ω - круговая частота сигнала, рад/с: ω = 2 × π × f = 2 × 3,1415925 × 20 = 125,6637. Общее количество дискретных выборок за период примем равным 2 000. Количество дискретных выборок за время обращения к сигналу, меньшему его периода, примем равным 250. Тогда время измерения, с, будет равно Зададим сдвиг фаз двух синусоидальных сигналов j = -28° (сигнал y(t) отстает по времени от сигнала x(t)). Для математического моделирования используем табличный процессор Excel 2013. Применяя встроенную статистическую функцию «СЛЧИСЛ()», сгенерируем 2 000 чисел с равномерным законом распределения. Далее, расположив полученные значения в виде вариационного ряда по возрастанию, вычислим значения дискретных выборок из синусоидального сигнала с точностью представления 4 знака после запятой. Результаты моделирования представлены на рис. 1 и 2. Рис. 1. Восстановленный период исследуемых гармонических (синусоидальных) сигналов частотой 20 Гц Рис. 2. Стохастическая обработка исследуемого сигнала (укрупненная часть интервала первой выборки) На рис. 1 представлены периоды полностью восстановленных (оцифрованных) исследуемых сигналов в виде синусоиды, например для сигнала (1) и для сигнала (4), сдвинутых по фазе на угол j = -28°. На рис. 2 для иллюстрации применения стохастической дискретизации представлена часть одного периода оцифрованного сигнала со стохастической дискретизацией во времени, наглядно показывающая принцип работы алгоритма определения сдвига фаз гармонических (синусоидальных) сигналов. В таблице представлены результаты определения сдвига фаз исследуемых гармонических сигналов за время, меньшее одного периода, со стохастической дискретизацией по времени. Результаты определения сдвига фаз исследуемых гармонических сигналов Выборки математического ожидания x(t) - 250 отсчетов Выборки математического ожидания y(t) - 250 отсчетов Эталонный сдвиг фаз, град Сдвиг фаз, определенный по алгоритму, град m1x(t) m2x(t) m3x(t) m1y(t) m2y(t) m3y(t) 3,7983 9,1566 9,0184 -0,9587 6,3981 9,7592 -28,0132 -28,0141 На основании результатов математического моделирования погрешность определения сдвига фаз исследуемых гармонических сигналов разработанным алгоритмом со стохастической дискретизацией составляет сотые доли процента и мало зависит от точности дискретизации сигналов по уровню. Полученная погрешность соответствует точности дискретизации при переводе в принятые значения аналого-цифровых преобразователей (АЦП) 12-разрядных АЦП. Заключение Таким образом, вопрос оценки основных параметров гармонических сигналов очень актуален, особенно за интервал времени, меньший периода сигнала. Предлагаемый алгоритм определения сдвига фаз гармонических (синусоидальных) сигналов является одним из путей дальнейшего развития других подобных алгоритмов. Важной проблемой дальнейших исследований является определение погрешностей разработанного алгоритма, включая применение корреляционного и оптимального алгоритмов.