Введение Исторически сложилось так, что человечество неразрывно связано с мореплаванием, и водный транспорт является одним из самых древних видов транспорта. Развитие морского транспорта России определяется не только географическим положением страны, но и его экономическими преимуществами. Морская транспортировка грузов - самый дешевый способ перевозки (после транспортировки по трубам), что обусловливает востребованность и популярность данного вида транспорта. Так как себестоимость перевозок водным транспортом остается самой низкой, он является конкурентоспособным, несмотря на низкую скорость доставки. В настоящее время морские порты являются крупными транспортными узлами, связывающими морские пути с железнодорожными, речными и автомобильными. Портовая деятельность - один из наиболее важных объектов, обеспечивающих развитие государственной экономики. На долю портов приходится более 50 % всего мирового грузооборота. Об этом свидетельствует положительная динамика роста грузооборота морских портов России. Согласно статистическим данным, за январь - май 2015 г. грузооборот России увеличился на 4,4 % по сравнению с аналогичным периодом 2014 г., а за 2014 г. - на 5,7 % по сравнению с 2013 г. [1, 2]. Широкое распространение получают контейнерные терминалы, перерабатывающие крупнотоннажные рефрижераторные контейнеры, в которых перевозят продукты питания. Рефрижераторные контейнеры - достижение современных технологий - предназначены для перевозок грузов, требующих поддержания специального температурного и влажностного режима. Такие контейнеры используются в основном для морских перевозок и хранения скоропортящихся грузов. Температурный диапазон рефконтейнеров составляет от -25 до +25 ºС. По своим размерам рефконтейнеры подразделяются на 20- и 40-футовые. Рефрижераторные контейнеры могут быть использованы при перевозках практически на всех видах транспорта, а также для хранения скоропортящихся грузов - как временного, при перевалке на грузовых терминалах, так и длительного. Применение рефконтейнеров позволяет доставлять груз «от двери до двери», не нарушая температурный режим хранения в пути следования и в процессе погрузки-выгрузки при смене видов транспорта. Контейнерные перевозки, которые отличаются очень высокой степенью безопасности, широко используются для уменьшения затратной части на этапе транспортировки грузов до территории порта и сокращения времени предварительной доставки. Современные контейнеры технически оснащены и изготовлены с соблюдением всех существующих норм и стандартов, что гарантирует их прочность и герметичность. Во всем мире растет популярность использования контейнеров в качестве универсальной тары для перевозки грузов [3, 4]. Развитие терминалов обусловило и появление новой организационной структуры управления, одновременно совершенствовались методы и аппарат оценки показателей работы перегрузочного терминала других участков мультимодальных перевозок [5, 6]. Теоретическая пропускная способность терминала не всегда совпадает с фактической, т. к. техническое оборудование порта, с точки зрения осуществления операций импорта и экспорта, не всегда может быть готово к хранению или обработке контейнерных грузов. В связи с этим необходима разработка математических моделей, которые позволяют оптимизировать и уменьшить затраты на оборудование и ресурсы [7]. Для моделирования работы перегрузочного терминала используется аппарат теории массового обслуживания. В основе моделирования процессов переработки грузов лежат разомкнутые системы массового обслуживания (СМО) [8]. Однако для определения характеристик процессов переработки контейнерных грузов применение существующих моделей массового обслуживания не всегда целесообразно, т. к. указанные модели некорректно описывают процессы функционирования работы порта [9, 10]. В рамках нашего исследования каналы СМО будут рассматриваться как условно функциональные секции, в которых осуществляется обработка грузов, а в качестве заявок СМО - прибывающие суда, подлежащие обработке. Если все причалы заняты, то вновь прибывшее судно остановится на рейде и ждёт своей очереди до освобождения одного из причалов. Каждое судно имеет расписание прибытия, которое, из-за непредвиденных обстоятельств, часто нарушается. Вследствие этого считается, что прибытие судов является случайным событием, которое влечёт за собой простой обслуживающих устройств или образование очередей. В классической теории массового обслуживания по критерию времени простоя до начала обработки различают системы «чистого» и «смешанного» типа. В «чистой» системе время ожидания и число мест в очереди судов не ограничено, т. е. каждое судно в течение какого-либо времени будет обязательно обработано и партия груза будет помещена на хранение. При использовании СМО смешанного типа (ограниченное ожидание) возможен отказ терминала в обработке судна. В действительности число грузовых партий в очереди всегда имеет ограничения. Используя аналитические данные по вероятностям состояния процессов обработки, целесообразнее их считать бесконечным числом. Возможны ситуации, когда в отдельные периоды времени судно может быть обработано в другом терминале порта из-за превышения допустимого времени ожидания. При использовании СМО марковской модели предполагается экспоненциальный (показательный) закон обслуживания. При расчетах вероятностных характеристик СМО применение экспоненциального закона может привести к ошибкам и недостаточной точности. Рассмотрение детерминированных методов для описания пропускных способностей контейнерных терминалов показало, что они не отражают всю специфику переработки и хранения рефрижераторных грузов, в частности не учитывается интервал времени между поступлением требования в канал обслуживания и моментом выхода требования из этого канала, однако доставка партий контейнерных грузов к терминалу представляет собой случайный поток событий [7, 9, 11, 12]. В реальных условиях функционирование инфраструктуры терминала с точки зрения процессов переработки грузов неадекватно вышеуказанным допущениям [8, 13, 14]. Специфика контейнерных терминалов требует учитывать случайные процессы обработки судов и описывать эти процессы на основе вероятностных моделей [15]. Еще один подход предусматривает разработку математической модели. Математическая модель процесса хранения учитывает нерегулярность прихода партий грузов и случайное время их нахождения на складе в рефрижераторных контейнерных терминалах, что в одних случаях приводит к простою оборудования и избытку мест на складах хранения, в других - к образованию очередей. Разработка вероятностной модели Для того чтобы разработать вероятностную модель, что и является целью нашей работы, необходимо исследовать случайные процессы хранения судов и провести их вероятностный анализ. Для перехода процесса из одного состояния в другое используются данные процессов хранения груза в те или иные моменты времени. Переход процесса происходит в моменты изменения состояния обработки груза, т. е. когда новое судно подходит к терминалу или когда освобождается один из причалов порта. При этом меняется количество судов, находящихся в очереди на хранение грузов. Для отражения основных событий системы изобразим графически основные процессы функционирования многоканальной разомкнутой СМО (рис. 1). Рис. 1. Q-схема процесса функционирования многоканальной разомкнутой СМО: 1 - поступление судов в терминал; 2 - вход судов в рейд (накопитель); 3 - определение условно функциональной секции для обслуживания судна; 4 - ожидание освобождения одной из условно функциональных секций; 5 - выход судна из накопителя; 6 - время обслуживания судов в условно функциональной секции; 7 - освобождение условно функциональной секции; 8 - выход судна из терминала Введем обозначения рефрижераторного контейнерного терминала, имеющего F условно функциональных секций с одинаковым коэффициентом заполнения φ, на который поступает нерегулярный поток судов m (количество судов) с результирующей интенсивностью λ. Результирующая интенсивность прихода судов в терминал определяется интенсивностью и числом судов, находящихся в очереди. Если все суда одинаковы с точки зрения их обслуживания, то считается, что на СМО поступает однородный поток заявок или требований (судов), т. е. все заявки на разгрузку одинаковы [10]. Однако могут быть и определенные неоднородности потока судов - суда могут обладать различными характеристиками: различное количество контейнеров на судне, различная вместимость контейнеров и др. Принимая, что поток партий груза (судов), приходящих в порт, подчиняется закону распределения Пуассона, можно считать его простейшим (стационарным пуассоновским), обладающим тремя свойствами: ординарностью, отсутствием последействия и стационарностью. Система характеризуется следующими особенностями: - требования (судов) в систему на обслуживание поступают по одному, т. е. вероятность поступления двух или более требований (судов) в один момент времени очень мала, и ею можно пренебречь - поток требований ординарный; - вероятность поступления последующих требований (судов) в любой момент времени не зависит от вероятности их поступления в предыдущие моменты - поток требований без последействий; - поток требований не зависит от расположения рассматриваемого интервала времени на оси времени - поток требований стационарный [16]. Для того чтобы рассчитать время ожидания судна на обработку и хранение, а также определить среднее число партий контейнеров в очереди, введем следующие допущения: задана многоканальная разомкнутая СМО с неограниченным временем ожидания и с неоднородным простейшим (стационарным пуассоновским) потоком требований. Неоднородный поток судов обладает различными характеристиками. Это разные типы судов (m1 - суда 1-го типа, m2 - суда 2-го типа, m3 - суда 3-го типа, ms - суда s-го типа) и разная интенсивность прихода грузовой партии (λ1 - для судов 1-го типа, λ2 - для судов 2-го типа, λ3 - для судов 3-го типа, λs - для судов s-го типа). Важными параметрами функционирования СМО являются среднее время ожидания в очереди на хранение и среднее число партий контейнеров в очереди на хранении . Исходными параметрами, характеризующими СМО, являются: - число условно функциональных секций F; - интенсивность поступления одного требования на обслуживания ; - интенсивность обслуживания судна . Общее количество судов в очереди на хранение определяется выражением Интенсивность потока судов можно найти по формуле Процесс, протекающий при обработке и хранении контейнерных рефрижераторных грузов в терминалах, представляет собой процесс дискретного типа с конечным (или счетным в общем случае) множеством состояний. При этом меняется количество партий груза, находящихся в очереди на переработку. В случайный момент времени исследуемые процессы грузовых партий переходят из одного состояния в другое. Переход процесса происходит в моменты, когда либо прибывает новая партия груза, либо освобождается одна из условно функциональных секций. Рассмотрим один из перечисленных выше процессов - расчет времени ожидания партий контейнеров в очереди на хранение. Каждое судно может оказаться в условно функциональном секторе (событие А) с одной и той же вероятностью p. Вероятность пропорциональна интенсивности прихода каждой партии груза и математическому ожиданию суммарного времени пребывания партий в терминале. Движение отдельных грузовых партий можно считать проведением f независимых испытаний. Если вероятность p - это нахождение грузовой партии в терминале, то - это вероятность того, что данная партия находится в другом состоянии (в других фазах), т. е. непоявление события A. Требуется найти вероятность того, что в терминале будет обрабатываться n грузовых партий, т. е. событие A в этих f опытах появиться ровно n раз. Используя байесов подход, рассмотрим событие , состоящее в том, что событие A появится в f опытах n раз. Это событие может осуществляться различными способами. Разложим событие на сумму произведений событий, состоящих в появлении или непоявлении события A в отдельном опыте. Будем обозначать как событие, соответствующее нахождению i-й партии груза в терминале, а - событие, соответствующее нахождению i-й партии груза вне терминала. Действительно, каждый член суммы должен состоять из n событий и событий с различными индексами. Тогда будет описываться по формуле (1) В выражении (1) описано число возможных способов, позволяющих из f опытов выбрать n, в которых произошло событие, число такого рода [17-19]. Используя частную теорему о повторении опытов [15], можно найти вероятность : , где - число способов, позволяющих из fi опытов выбрать ni, в которых произошло событие (нахождение партии контейнеров на хранении). Вероятность нахождения n1, n2, …, ns партий контейнеров на хранении соответствует членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу партий контейнеров, поэтому указанное распределение вероятностей называется биномиальным. Под биномиальным распределением подразумевается распределение вероятностей возможных появлений событий А (нахождение партии контейнеров на хранении) при повторных независимых испытаниях. В каждом из некоторых событий А может определяться с одной и той же вероятностью [15, 20]. Для этого представим все возможные состояния СМО в виде размеченного графа состояний (рис. 2). Рис. 2. Размеченный граф состояний многоканальной разомкнутой СМО Каждый прямоугольник графа определяет одно из всех возможных состояний. Pn - это возможность наличия в системе n требований (судов). Стрелки на графе указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью. При этом в многоканальной СМО необходимо различать два случая: - число судов n, поступивших в систему, меньше каналов обслуживания N, т. е. все они находятся на обслуживании (0 ≤ n < N); - число судов n, поступивших в систему, больше или равно числу каналов обслуживания N (N ≤ n), т. е. N судов обслуживаются, а остальные r находятся в очереди (r = 1, 2, …, n - N) [16]. Граф с вероятностью P0 определяет состояние системы, при котором все каналы обслуживания простаивают из-за отсутствия судов. С интенсивностью μ система может перейти как в состояние P1, когда в ней появится одно требование, так и из состояния P1 в состояние P0, если единственное требование, находившееся в системе, было обслужено ранее, чем появилось новое, и т. д. Определив вероятности отдельных состояний терминала, можно на основе байесова подхода узнать среднее значение времени ожидания партий контейнеров в очереди на хранение, соответствующее определенным значениям числа судов ms и числа условно функциональных секций F исследуемого специализированного терминала. Основной задачей является определение среднего времени ожидания партий груза в очереди, т. е. прямая задача - определить зависимость функции от коэффициента заполнения φ и количества условно функциональных секций F. Это необходимо для рефрижераторного терминала: φ1, φ2, φ3 … φi … φs соответственно и для каждого типа судна; r1, r2, … ri … rs - размер партии контейнеров (количество контейнеров) для судов. В рамках нашего исследования коэффициент заполнения φ прямо пропорционален интенсивности прихода каждой партии груза . Среднее приведенное время ожидания помещения на хранение партии контейнеров [21, 22]: , , где rср - усредненное значение размера партии контейнеров, рассчитываемое по формуле . Полученная вероятностная модель позволяет провести анализ процессов хранения контейнерных грузов в рефрижераторных терминалах и определить среднее время ожидания партий груза в очереди на хранение в рефрижераторном контейнерном терминале. Результаты исследования Математическая модель и схемы процессов функционирования и состояний многоканальной разомкнутой СМО, описанные выше, позволили рассчитать вероятностные характеристики, используя приложение Java, т. к. с его помощью можно создать элементарный байт-код. Выбор данного инструментария для разработки программного продукта обеспечивает простоту, удобство программирования и возможность будущей модернизации [23-26]. Предложенное программное обеспечение представляет собой совокупность библиотек функций и динамическое содержание, предназначенное для расчета вероятностных характеристик процессов хранения и переработки рефрижераторных контейнеров. Программа предусматривает возможность ввода параметра, не имеющего количественного ограничения (такого, как «тип судна». Для каждого определенного типа судна учитываются: размер партий груза, размер (вместимость) контейнера, коэффициент заполняемости и другие характеристики. В ходе разработки были решены следующие задачи: - осуществление ввода исходных данных: F - количество условно функциональных секций; ms - суда s-го типа, где s - число «неоднородных» судов; φs - коэффициент заполнения (рис. 3); - обеспечение соответствия введенных данных условиям и их проверки на правильность; - расчет среднего числа партий контейнеров в очереди на хранение; - расчет интенсивности прихода партий контейнеров; - расчет среднего времени ожидания помещения на хранение партии контейнеров. Рис. 3. Блок-схема алгоритма расчета вероятностных характеристик процессов хранения и переработки рефрижераторных контейнерных грузов Согласно результатам расчетов, среднее время ожидания существенно возрастает за счет увеличения коэффициента заполнения и уменьшается за счет увеличения числа условно функциональных секций рефрижераторного терминала. При использовании rs и rср показатели отличаются незначительно, следовательно, при дальнейших расчетах можно использовать усредненное значение rср. Заключение Таким образом, полученная вероятностная модель позволяет произвести анализ процессов хранения контейнерных грузов в рефрижераторных терминалах, учитывая специфику функционирования процессов переработки грузов, и рассчитать следующие параметры: среднее число партий контейнеров в очереди на хранение; среднее приведенное время ожидания, интенсивность прихода в терминал каждой партии контейнеров и коэффициент заполнения условно функциональных секций. Результаты получаются точнее, чем при использовании «классического» детерминированного метода, не полностью отражающего специфику переработки рефрижераторных контейнерных грузов вследствие того, что не учитываются такие важные аспекты, как нерегулярный поток событий, случайное время нахождения судов в терминале (в условно функциональных секциях) и случайная величина времени обработки грузов.