Землетрясения представляют собой одну из самых разрушительных природных катастроф с последствиями в виде человеческих жертв и огромных материальных убытков. По статистическим данным, в мире ежегодно происходит более 300 тыс. землетрясений. В СНГ сейсмически активной считается 28 % территории, ежегодно регистрируется до 75 землетрясений, причём в среднем раз в три года происходит одно разрушительное землетрясение. Задача сокращения материальных убытков и уменьшения человеческих жертв при возможных землетрясениях в ходе освоения сейсмически активных территорий обусловлена требованиями по сейсмической безопасности грузоподъёмных кранов, транспортирующих, в том числе, опасные радиоактивные грузы в портах и терминалах. Основой сейсмической безопасности являются методы расчёта подъёмных сооружений на сейсмические воздействия по оценке напряженно-деформированного состояния их несущих конструкций, связанных с обеспечением их прочности для восприятия сейсмических нагрузок. В статье показано, что требования по разработке современных проектов подъёмных сооружений удовлетворяются, если учитывается пространственный характер воздействия, а сооружения рассматриваются как единые пространственные системы, кроме того, учитываются различного характера деформации и геометрические и кинематические нелинейности. Установлено, что расчёт и проектирование сейсмостойких подъемных сооружений стали возможными за счёт развития компьютерной техники и компьютерного математического обеспечения, основанного на развитии аппарата общей и строительной механики и численных методов решения больших систем дифференциальных уравнений сейсмических колебаний второго порядка. Математическая модель сейсмического воздействия Уравнение вынужденных сейсмических колебаний недемпфированной системы расчётно-динамической модели (РДМ) подъёмного сооружения с n степенями свободы имеет вид , (1) где [М] и [К] - матрицы масс и жёсткости РДМ конструкции; - вероятностно-статистическая акселерограмма (ВСА) землетрясения; {Рст}, {Рд} - векторы статических и динамических эксплуатационных и технологических нагрузок на грузоподъёмную машину соответственно; и - вектор перемещений РДМ и его вторая производная. В соответствии с п. 5.1.1. Руководства по безопасности 006-98 «Определение исходных сейсмических колебаний грунта для проектных основ» [1] для синтезирования расчётных акселерограмм используется полученный в результате обработки набор аналоговых акселерограмм, подходящих для сходных сейсмических и грунтовых условий, представленных в работах [2-6], сводный ансамбль которых приведён на рис. 1. Рис. 1. Сводный ансамбль реальных 7-балльных акселерограмм максимального расчётного землетрясения MSK-64 [2-6] на дневной поверхности Принято считать, что расчётная акселерограмма РБ 006-98 [1] (2) является консервативной. Здесь A(t) - огибающая, а фазовые углы φi представляют собой равномерно распределённые в интервале от 0 до 2π случайные величины. Шаг по частоте Δω определяется из условия гладкости спектра реакции как . Расчёты производятся в интервале периодов Т от 0,05 до 3 с. В качестве первого приближения для амплитуды Bi в (2) используются значения, непосредственно взятые с заданной кривой b(Т) [7] для соответствующих значений частот wi. Уход от консервативной акселерограммы (2) авторам настоящей работы представляется в разработке вероятностно-статистическая акселерограммы, получаемой на основе обработки ансамбля исходных, предпочтительно реальных, акселерограмм землетрясений баллов MSK-64 [2-6]. Для построения ВСА нами приняты следующие допущения [8, 9]: - на времени действия τэ эффективной фазы землетрясения 4 ≤ τэ ≤ 10 c сейсмическое воздействие (СВ) является случайным стационарным процессом с нулевым матожиданием, дисперсией , корреляционной функцией (КФ) - К(τ) и функцией спектральной плотности (ФСП) - Ga(ω); - сейсмическое воздействие, заданное акселерограммой a(t), имеет нормальный закон распределения; - сейсмическое воздействие, в отличие от СНиП II-7-81* [7], задаётся для трёх направлений пространства: двух горизонтальных X, Y и вертикального Z. Причем вероятность проектного землетрясения равна Тс / 103, а максимального расчетного землетрясения (МРЗ) - Тс / 104, где Тс - нормативный срок службы проектируемого сооружения, например, согласно РД 22-01-97 [10]. Сейсмическое воздействие как случайную функцию представим ансамблем [2-6] выборочных функций , каждая из которых не описывает всех свойств СВ. Проведя статистическую обработку ансамбля исходных акселерограмм, получим воздействие, учитывающее все свойства ансамбля. Для этого каждая акселерограмма исходного ансамбля переоцифровывается с одним и тем же шагом Δt (0,01 ≤ Δt ≤ 0,03 c), и для каждой из них устанавливается длительность, соответствующая длительности τэ эффективной фазы ансамбля. В результате получается ансамбль переоцифрованных с одинаковым по времени шагом акселерограмм равной длительности, рассматриваемых как реализация случайного процесса . Для каждого момента времени tk (с шагом оцифровки) проводится осреднение мгновенных значений процесса землетрясения: определяется и - математическое ожидание и среднеквадратическое значение (дисперсия) соответственно: (3) (4) где S - число реализаций сейсмических процессов. Выборка объемом S в (3), (4) имеет нормальный закон распределения. С изменением объёма выборки будет меняться дисперсия (4). В этом случае для момента времени tk значение процесса является случайной величиной со всеми параметрами дисперсии (5) и матожидания выборочного среднего, которое с вероятностью будет находиться в интервале , (6) где верхняя граница (6) является среднестатистической акселерограммой (ССА): (7) В (6) и (7) F(UP), Ф(UР) - табулированные функции нормального распределения (нормированного и Лапласа) соответственно; Uр - квантиль нормального распределения, соответствующий принятой проектировщиком доверительной вероятности Р, значения которого приведены в табл. 1. Таблица 1 Квантили UP нормального распределения Показатель Критерий Доверительная вероятность Р 0,90 0,95 0,975 0,990 0,995 0,999 Односторонний 1,282 1,645 1,96 2,362 2,576 3,0 Двухсторонний 1,645 1,96 2,362 2,576 3,0 3,3 Заметим, что выбор доверительной вероятности Р в (6) не является математической задачей, а определяется конкретно решаемой проблемой. Величина a = (1 - Р) (8) называется уровнем значимости или риском пользователя (риском 1-го рода) и определяет критическую область, в которую попадает α процентов неучтённых возможных средних значений выборки S. При малом числе реализаций процесса вместо квантиля Up в (6) и (7) следует принимать квантиль tp распределения Стьюдента (табл. 2.). Таблица 2 Квантили tp распределения Стьюдента Показатель Объём выборки Доверительная вероятность Р 0,95 0,99 0,999 5 3,04 5,04 9,43 15 2,22 3,08 4,28 20 2,15 2,93 3,98 30 2,08 2,80 3,72 40 2,03 2,71 3,53 50 1,99 2,64 3,41 100 1,96 2,58 2,29 Анализ реальных акселерограмм [2-6] показывает, что у консервативных акселерограмм (2), построенных для различных ансамблей, пиковые ускорения в момент времени tk могут существенно отличаться, поэтому для повышения точности представления СВ и повышения качества сейсмических расчётов применяют ВСА. Учитывая, что среднеквадратичное значение в (6) тоже является случайной величиной, имеющей доверительный интервал (9) где qp - квантиль распределения (табл. 3), поэтому для построения вероятностно-статистической акселерограммы целесообразно принимать верхнюю границу Р-процентного интервала среднеквадратичного значения из (9). Таблица 3 Значения квантилей qp Показатель Число дискретных значений ансамбля акселерограмм Доверительная вероятность Р 0,95 0,99 0,999 5 1,37 2,67 5,64 10 0,65 1,08 1,80 15 0,46 0,73 1,15 20 0,37 0,58 0,88 30 0,28 0,43 0,63 40 0,24 0,35 0,50 50 0,21 0,30 0,43 100 0,14 0,20 0,27 После этого вероятностно-статистическая акселерограмма с учётом (9) представляется в виде (10) она учитывает Р процентов свойств всей исходной информации ансамбля {аi(t)} [2-6] и может быть использована как модель сейсмического воздействия на грунте при расчёте зданий и сооружений на сейсмостойкость линейно-спектральным методом и методом динамического анализа. Очевидно, что ВСА (10) интенсивностью 7 баллов по шкале MSK-64 рекомендуется использовать для практических расчётов зданий и сооружений на СВ по МДА (рис. 2), причём выбор значений доверительной вероятности Р в (10) производится в зависимости от вероятности (8). Рис. 2. Расчётная ВСА максимального расчётного землетрясения 7 баллов MSK-64 на отметке +0 на дневной поверхности: а, б - горизонтальные компоненты х, y; в - вертикальная компонента z В целях практических расчетов сооружений на СВ получение значений оцифровки любой акселерограммы a(t) с любым шагом в пределах длины полупериодов осуществляется с использованием формулы (11) в которой L - длительность импульса; t - время начала импульса; τ - время в пределах импульса, ; аm - амплитуда импульса. Здесь следует учесть, что ВСА (10) обеспечены оцифровками как процесс на временной оси с шагом Δt (0,01 ≤ Δt ≤ 0,08 c). Пользователю трёхкомпонентными ВСА (10) при сейсмическом проектировании зданий и сооружений МДА следует помнить, что их качество при полноте информации большей, чем [2-6], может быть улучшено. Кроме того, их качество должно оцениваться через призму сведений [7], согласно которым максимальные ускорения пиков акселерограмм 7, 8 и 9 баллов отличаются друг от друга в 2 раза и составляют 1, 2 и 4 м/с2 соответственно. В заключение следует указать, что ВСА при наличии РДМ рассчитываемого объекта служит основой для построения методом динамического анализа поэтажной ВСА, на уровне установки встроенного технологического оборудования, крановых конструкций и др. с целью их детального расчёта на сейсмостойкость. С целью оценочного анализа ВСА 7 баллов (см. рис. 2) МРЗ MSK-64 на рис. 3 и 4 представлены её сейсмический спектр ответа (ССО) и сейсмические коэффициенты динамичности (СКД) соответственно на дневной поверхности на временной и частотной оси, в том числе, для сравнения, СКД СНиП II-781*[7], для грунтов II категории. Рис. 3. Сейсмические спектры ответа ВСА максимального расчётного землетрясения 7 баллов MSK-64 на дневной поверхности (затухание 0,02; 0,04; 0,08): а, б - горизонтальные компоненты х, y; в - вертикальная компонента z Рис. 4. Сейсмические безразмерные коэффициенты динамичности b(w) ВСА максимального расчётного землетрясения 7 баллов MSK-64 на дневной поверхности (затухание 0,02; 0,04; 0,08): а, б - горизонтальные компоненты х, y; в - вертикальная компонента z Для оценки амплитудных характеристик ВСА 7 баллов (см. рис. 2) на рис. 5 представлена её амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика ВСА максимального расчётного землетрясения 7 баллов MSK-64: а, б - горизонтальные компоненты х, y; в - вертикальная компонента z Очевидно, что пользователю ВСА 7 баллов при необходимости следует учитывать грунтовые условия, как согласно [7, 12], так и результатам обеспеченности и сейсмомикрорайонирования, например, согласно [3, 13]. Кроме того, оцифровку ВСА 7 баллов МРЗ MSK-64 можно найти по рекомендациям работы [11]. Необходимо указать, что затуханию x = 0,02; 0,04; 0,05 и 0,08 (см. рис. 3, 4) соответствует логарифмический декремент затухания колебаний dз, определяемый из формулы , (12) величины которого принимают значения 0,12; 0,25; 0,314 и 0,5 соответственно, что отвечает сведениям [14]. Математическая модель линейно-спектрального метода В качестве расчётного базиса линейно-спектрального метода (ЛСМ) примем собственные векторы, полученные, в частности, для стержневой динамической системы сооружения из уравнений свободных колебаний n-го порядка , (13) полученное из (1). Для системы со многими степенями свободы исключим время t в (13) с помощью вектора перемещений (14) и его второй производной по времени , (15) что приводит к системе уравнений для собственных значений относительно форм колебаний , в которой [Ф] - фундаментальная матрица произведения матриц порядка n ´ n, составленная из собственных векторов, расположенных по столбцам (16) характеризующая форму колебаний полной системы, у которой изменяются только амплитуды и J - фазовый угол; - диагональная матрица собственных значений, элементами которой являются квадраты собственных частот … (17) Подставив выражения (14) и (15) в (13), получим , откуда приходим к уравнению для собственных значений (однородной системе) . (18) Условие нетривиальности решения однородной системы (18) приводит к частотному уравнению метода конечных элементов (МКЭ) в прямой форме , (19) легко разрешаемому с помощью ЭВМ, где - единичная матрица. Здесь всегда принимается во внимание, что решение частотного уравнения, согласно (18), удовлетворяет условию . Поскольку уравнение движения (1) является линейным, связь между обобщёнными координатами и нормальными координатами {ѱ} определяется соотношением (20) Подставив в (1) выражение (20) и его вторую производную и умножив полученное слева уравнение на транспонированный вектор m-й формы колебаний {φm}T, получим распадающееся уравнение n-го порядка (векторы {Рст}, {Р¶} опущены): (21) которое, согласно условиям ортогональности, доказанным Рэлеем, с учётом (18) распадается на несвязанные уравнения по формам колебаний: (22) в которых Mm и Km - модальные масса и жёсткость соответственно: ; (23) . (24) Вектор в правой части (22) с учётом (23), (24) представляет собой долю сейсмической нагрузки на сооружение, вызывающую колебания его РДМ по m-й форме. Если СВ в (22) представим в виде , (25) где - трёхкомпонентный вектор направляющих косинусов трёхкомпонентной ВСА (см. рис. 2) в общей системе координат (ОСК), то уравнение (22) с учётом затухания (12) примет вид , (26) где wm - собственная m-ая частота колебаний осциллятора, определяемая из выражения (17): ; Dm - коэффициент влияния с учётом (23, 24) - величина постоянная для m-й формы колебаний РДМ сооружения: . (27) Теперь покажем, что матрица жёсткости полой стержневой системы сооружения порядка n ´ n, состоящая из S конечных элементов определяется методом суперпозиции: , (28) согласно которому матричная форма матрицы отдельного стержневого КЭ должна быть представлена в виде блока, в котором , где Т - индекс транспонирования. Известно, что матрица жёсткости масс из местной системы координат (МСК) в ОСК переводится с применением диагональной матрицы преобразования : , (29) в которой , (30) а матрица в (30) - матрица направляющих косинусов углов Эйлера [8, 9]; в практических целях матрицу стержневого КЭ обычно представляют в блочном виде типа (28). Из (22) и (26) стало очевидно, что сейсмические нагрузки по своей природе являются расчётными инерционными нагрузками. Для их определения необходимо знать абсолютные ускорения колебаний земли из (25). Для многомассовых систем грузоподъёмных кранов и крановых рельсовых путей расчётные сейсмические нагрузки определяются вектором , (31) в котором - вектор абсолютных ускорений земли (см. рис. 2) в обобщённых координатах (20). На основании (22) и (31) вклад от m-й формы колебаний конструкции сооружения в искомую теории ЛСМ сейсмостойкости расчётную сейсмическую нагрузку с учётом (27) имеет вид (32) Здесь - абсолютное ускорение m-го осциллятора, испытывающего СВ . Принципиально важным моментом в ЛСМ пространственных конструкций зданий и сооружений с крановыми нагрузками является переход от динамической задачи (32) к квазистатической. Это осуществляется заменой временной функции в (32) на постоянную величину , которая представляет собой максимальную реакцию осциллятора с частотой wm на воздействие, заданное акселерограммой (25). При этом величину следует получать из сейсмического спектра ответа (рис. 3) для заданной акселерограммы [15, 16] (см. рис. 2), поэтому расчёт m-й сейсмической силы (32), в соответствии с ЛСМ, осуществляется с использованием ССО с учётом (27) по формуле , (33) где W(ωm, ξm) - отсчёт ССО с затуханием xm на частоте wm, построенный для акселерограммы из (25) [16]. При этом . Если исходная акселерограмма (в данном случае ВСА) задана трёхкомпонентным воздействием вида (25), что чаще всего имеет место на практике, сейсмическую нагрузку (33) по m-й форме колебаний на конструкцию сооружения вычисляют по формуле , (34) в которой {W(ωm, ξm)} - вектор порядка n*, построенный на основе трёхкомпонентного сейсмического спектра ответа (см. рис. 3) с использованием ВСА (9). При этом n* < n, где n - число степеней свободы РДМ сооружения, n* = 30-50 Гц, где: (35) Фактически в рамках ЛСМ вводится понятие квазистационарных расчётных сейсмических сил {s}m (34), каждый вектор которых по m-й форме колебаний РДМ сооружения характеризуется тем, что при приложении эквивалентного ей вектора статических сил конструкция сооружения получит сейсмические смещения {V}m в ОСК, определяемые из уравнения [17]: . (36) Используя полученный вектор смещений из (36), согласно теории метода конечных элементов, в МСК определяется известный вектор внутренних усилий в каждом КЭjk РДМ конструкции крана по m-й форме колебаний: , (37) где - матрица (30) преобразования ОСК ® МСК; - матрица жёсткости КЭjk; - вектор перемещений узлов j и k КЭjk 12-го порядка, выделенный из вектора n-го порядка, который получен в результате решения (36): где в строках первые три параметра - линейные перемещения узла j(k) по осям XYZ ОСК, далее три угловые и производная от угла закручивания. Результирующие внутренние усилия от действующих расчётных сейсмических сил (34) должны быть получены суммированием векторов (37) для всех учитываемых форм колебаний (как правило, до 30 Гц). Однако, поскольку их значения для разных собственных форм достигаются в различные моменты времени, они не могут быть определены в рамках ЛСМ. Поэтому суммарные расчётные сейсмические силы определяют с помощью эмпирических формул, установленных путём сопоставления расчёта по ЛСМ и методом динамического анализа (МДА) на действие акселерограммы, в частности, среднеквадратичным суммированием: (38) где n*