Введение Выполнение требований надежности и работоспособности сооружений, обеспечивающих технологические процессы в морских и речных портах, определяется эксплуатационными характеристиками сооружений, заданными на стадии их проектирования и расчетного анализа. В [1] отмечалось, что большинство подобных сооружений представляют собой стержневые конструкции, несущие элементы которых являются стержнями открытого или закрытого профиля. Для решения задач по обоснованию статической прочности пространственных конструкций в [1] была приведена методика построения матрицы жесткости стержня открытого профиля. Однако, при расчете пространственных конструкций, составленных из тонкостенных стержней, на динамическое воздействие по методу конечных элементов (МКЭ), необходимо знать не только матрицу жесткости, но и матрицу масс каждого стержня [2]. Математическая модель матрицы масс тонкостенного стержня открытого профиля Для формирования матрицы масс КЭ, с учетом правила знаков для перемещений и усилий, которые принимаем по рис. 1, определим функционал его кинетической энергии при пространственном деформировании в виде , (1) где r - плотность материала КЭ. Рис. 1. Правило знаков для узловых перемещений тонкостенного стержня открытого профиля В формуле (1) поперечные перемещения точки М (x, y) срединной поверхности стержня определяются формулами [2]: (2) При учете сдвига срединной поверхности стержня продольные перемещения точки М (x, y) равны: . (3) В формулах (2), (3) ξ, ζ, η - компоненты перемещения центра изгиба с координатами [2]: (4) В формуле (3) Геометрические характеристики поперечного сечения стержня Kij, входящие в выражения (1)-(3), вычисляются по формуле , (5) в которой i и j принимают значения x, y, ω; d - толщина контура сечения. Подставляя (2) и (3) в (1) и интегрируя по площади А, получим: (6) где, с учетом (4), . При рассмотрении линейных (малых) колебаний кинетическую энергию (6) представим квадратичной формой скоростей на обобщенных перемещениях : . (7) Тогда инерционные коэффициенты матрицы масс конечного элемента jk mst (8) с использованием (7) вычисляются по формуле . (9) В качестве компонентов перемещений стержня жестко закрепленного по концам примем перемещения: в которых qs - узловое перемещение, соответствующее его степеням свободы (s, t = 1,14), ys(z) - аппроксимирующие функции Эрмита [3]: (10) Следуя (9) и (10), легко установить, что матрица масс пространственного тонкостенного стержня (8) имеет порядок 14 × 14, а ее элементы, определяемые по формуле (9), составляют матрицу масс тонкостенного стержня открытого профиля в местной системе координат при пространственном деформировании с учетом сдвига срединной поверхности. При ее получении использовались следующие зависимости: , , , , , в которых L - полный крутящий момент. Приведем элементы матрицы масс mst = mts (8), учитывающие сдвиг срединной поверхности: (11) где, с учетом (5), , . (12) Аналитическая оценка влияния деформаций сдвига серединной поверхности на собственные частоты тонкостенного стержня открытого профиля Рассмотрим стержневой элемент (рис. 2) длиной l = 0,6 м с поперечным сечением в виде широкополочного двутавра размерами b = h = 12 см, δп = δст = 1 см, у которого A = 34 см2, Ix = 809 см4 (ось X параллельна полкам), E = 2,1·105 МПа, GId = 10,9 кН · м2, ρ = 7,85 т/м3. Рис. 2. Поперечный изгиб консольного стержня Определим первую частоту собственных колебаний консольной балки, как конечного элемента с двумя степенями свободы, без учета сдвига срединной поверхности и инерции поворота. Матрицу масс вычислим с использованием формул (11), полагая в них, согласно (12), Kxx = Kyy = 0 и Jy = 0, а матрицу жесткости конечного элемента, без учета деформаций сдвига, определим по формулам из [4]. Вычисляем элементы матрицы масс: , (13) которая, согласно (13), имеет вид , или, в численных значениях, . В элементах матрицы жесткости , , коэффициенты Ах, вычисляемые по формуле , (14) примем равными Ах = 3. Формируем матрицу жесткости: , или, в численных значениях, . Минимальное собственное число для матрицы, являющейся результатом перемножения [M]-1×[K], равно: l1 = 6,13 ´ 106. Тогда первая частота собственных колебаний балки будет: . (15) Точное решение для первого тона колебаний консольного стержня (рис. 2) с распределенной массой известно из [5]: , откуда w1 = 2,464 · 103 с-1. Разница полученного w1 по МКЭ (15) и точного решения составляет менее 0,5 %. Далее определим первую частоту собственных колебаний балки (рис. 2) с учетом сдвига срединной поверхности. Предварительно вычислим по формуле (5) К1 = 1,33 · 10-4 м2 для матрицы масс и по формуле (14) вычислим Ах = 1,807 для матрицы жесткости. Получим: , (16) . (17) Минимальное собственное число матрицы [M]-1×[K] с учетом (16) и (17) будет l1 = 4,739 · 106, откуда частота первого тона . (18) Таким образом, учет деформации сдвига срединной поверхности в консольном стержне двутаврового профиля (рис. 2) дает уменьшение частоты (18) первого тона колебаний на 11,6 %. Рассмотрим стержень с шарнирным опиранием концов (рис. 3, а), для которого в [6, 7] было получено «точное» решение для частоты изгибных поперечных колебаний в плоскости y0z в замкнутой форме, при ах = ау = Кху = 0 на основе (4) и (5). . (19) Рис. 3. Двутавровый стержень с шарнирным опиранием концов Определим частоту колебания первого тона (n = 1), т. е. рассматривается симметричная форма колебаний ηʹ(l) = 0 (рис. 3, б). Для примера, рассмотренного в [6, 8] (А = 120 см2, Jx = 3,733 × 104 см4, h = 40 см, Jd = 40 см4, L = 400 см, Kxx = 1,127 см2, E/G = 2,5 ), получено по (19) «точное» решение: . (20) Решим эту задачу по МКЭ. При принятых граничных условиях (рис. 3, б) формируем частотный определитель: . (21) Имеем матрицы жесткости и масс: , , где коэффициенты матрицы жесткости определялись согласно [4]: , , . (22) При этом величина Ах = 1,677 определялась по (14), а коэффициенты матрицы масс ms,t определены по соответствующим формулам матрицы (11): , , (23) , где Кх вычисляется согласно (12). После подстановки числовых данных в (22) и (23) получим: , , , , , . Частоту wу по МКЭ определим после раскрытия частотного определителя (21), который после раскрытия имеет вид . (24) Решая уравнение (24), находим: . (25) Полагая в (25) l = 0,5L (рис. 3, б), получим окончательно . (26) Расхождение (26) с «точным» решением (20) составляет 1,7 %. Как известно [6, 7], решение (26) без учета сдвига имеет вид , (27) т. е. уменьшение частоты (26), вычисленной с учетом сдвига срединной поверхности по сравнению с (27), составило на 8 %. Дополнительно укажем, что с уменьшением отношения h/l (h - высота сечения) влияние сдвига возрастает. Так, при L = 320 cм по формуле (19) получим «точное» решение . Решая задачу (24) по МКЭ, получим . (28) Уменьшение частоты (28) при учете сдвига серединной поверхности и уменьшения длины двутавра с 400 до 320 см по сравнению с (27) составило 11,7 %. На основании полученных результатов заключаем, что учет деформации сдвига срединной поверхности дает существенную поправку при вычислении частот собственных колебаний. Если принять во внимание приоритеты учета сдвига срединной поверхности тонкостенных стержней открытого профиля, можно перейти к задаче расчета пространственных конструкций, что реализовано нами при расчете остаточного ресурса металлоконструкций портальных кранов [9] как сварных систем, составленных из тонкостенных горячекатаных уголковых профилей (рис. 4). Рис. 4. Расчетно-динамическая конечно-элементная модель портального крана «АБУС» г/п 16 т зав. № 1071487 з-да «Кранбау Эберсвальде» (Германия): 1638 узлов, 830 КЭ, степеней свободы n = 11466, масса крана 170 т Конечно-элементная модель пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля Решение поставленной задачи выполнено по конечно-элементному уравнению движения n-го порядка [2, 9, 10]: , (29) в котором выражение перед - матрица затухания Мартемьянова; - вектор ускорения кинематических воздействий основания; gз - коэффициент потерь, связанный с коэффициентом относительного демпфирования x (x = 0,02-0,04) зависимостью , в которой dз - логарифмический декремент затухания колебаний, присущий рассчитываемой конструкции. В уравнении движения (29) следует учесть, что матрицы жесткости и масс КЭ (далее - матрицы типа (8)) получены в местной системе координат Оxyz, являются симметричными и имеют блочную структуру: , (30) в которых j и k обозначают узлы начала и конца КЭ соответственно. Для получения матрицы полной системы [K]n´n в общей системе координат ОXYZ матрицу КЭ (30) необходимо перевести из местной системы координат Оxyz КЭ jk в общую ОXYZ с использованием матрицы преобразования координат [T]14´14 [11]: , после чего матрица полной системы формируется методом суперпозиции: , где s - число КЭ в полной системе. Переход к расчетному анализу пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля по уравнению движения (29) вызвал затруднение в его решении, заключающееся в том, что для несущих конструкций оно, как правило, является жестким и его прямое интегрирование методами Рунге - Кутты, Адамса и др. приводит к существенным вычислительным трудностям. В связи с этим в качестве способа интегрирования системы уравнений движения (29) предлагается использовать опробованный нами жестко-устойчивый метод Гира в виде формул дифференцирования назад [12, 13], позволяющий контролировать знак производной df/dy на каждом шаге интегрирования и эффективно строить алгоритм интегрирования системы дифференциальных уравнений движения [10, 14]. Заключение В процессе развития теории тонкостенных стержней открытого профиля неоднократно возникали различного рода предложения по ее модификации, мотивированные попытками отказа от гипотезы отсутствия сдвигов и учитывающие тем или иным способом влияние деформаций сдвига на работу тонкостенного стержня. Следуя общей идее, выдержанной в [3, 4], учтено влияние деформаций сдвига включением в выражение для энергии деформации тонкостенного стержня открытого профиля той ее части, которая вызвана работой касательных напряжений. Эта идея по существу является переносом на теорию тонкостенных стержней соответствующей процедуры, использованной другими авторами при переходе от теории балок Бернулли - Эйлера к теории балок Тимошенко, а также при переходе от теории Кирхгофа изгиба пластин к теории Рейсснера. Такая схема рассуждений в части учета деформации сдвига в теории тонкостенных стержней, впервые представленная в работе Л. Н. Воробьева [8], привела к одному из наиболее простых вариантов сдвиговой теории тонкостенных стержней, представленному в настоящей работе.