Введение К технической инфраструктуре морских и речных портов предъявляются повышенные требования надежности и работоспособности, обусловленные необходимостью бесперебойной и круглосуточной работы. Большинство сооружений, эксплуатирующихся в портах (быстровозводимые склады закрытого хранения, грузоподъемные краны, эстакады и т. д.), представляют собой преимущественно стержневые конструкции, несущие элементы которых являются стержнями открытого или закрытого профиля. В создании технической теории тонкостенных стержней открытого профиля выдающаяся роль принадлежит В. З. Власову [1]. Разработанная им общая теория широко используется инженерами при проектировании строительных, машиностроительных и других конструкций. За последние годы теория расчета тонкостенных стержней непрерывно развивалась, уточнялись области её применения. Исследования последних лет напряженно-деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля развиваются, как правило, в двух направлениях. Первое посвящено уточнённым теориям, в которых делается различие между координатами начального и конечного состояния тонкостенного стержня и учитывается влияние сдвигов и перемещений точек и углов закручивания поперечных сечений на величину и характер распределения внутренних усилий. Второе направление представлено приложением теории тонкостенных стержней открытого профиля к методам расчетного анализа пространственных конструкций из тонкостенных стержней в области как статического, так и динамического нагружения на основе достижений метода конечных элементов (МКЭ) [2]. Математическая модель тонкостенного стержня открытого профиля Исходя из предпосылок, представленных в [3], рассмотрим наиболее характерные стороны этой теории. В главах 1-5 изложена теория тонкостенных стержней открытого (гл. 3) и замкнутого профилей (гл. 4). Особенностью и новизной полученных решений является учет влияния сдвигов срединной поверхности тонкостенного стержня открытого профиля на его напряженно-деформированное состояние (рис. 1). Следуя [4], учтем влияние деформации сдвига, включив в выражение для энергии деформации тонкостенного стержня открытого профиля ту её часть, которая вызвана работой касательных напряжений, и установим ее влияние на «динамический портрет» стержня. Нормальные и касательные напряжения в точке А тонкостенного стержня будем определять по следующим формулам: , (1) , (2) в которых h - расстояние от точки А до срединной поверхности стержня толщиной d. Рис. 1. Тонкостенный стержень открытого профиля: а - исходное состояние; б - деформированное состояние в местной системе координат Крутящий момент Н, возникающий из-за неравномерного распределения касательных напряжений по толщине стенок d, выражается через угол закручивания Q формулой . (3) В (1)-(3) G - модуль упругости при сдвиге; - депланация, производная угла закручивания; , геометрическая характеристика сечения, выполняющая ту же роль, что и полярный момент инерции для стержней круглого поперечного сечения, а последние слагаемые в (1) и (2) sw и tw - нормальные и касательные напряжения в стержне открытого профиля, обусловленные, соответственно, его стесненным изгибом и кручением, в которых Вw - бимомент, имеющий внешнюю аналогию с выражением внутреннего изгибающего момента, с тем отличием, что в (4) плечо, на которое умножается элементарная внутренняя сила swdA, заменено секториальной координатой w (размерность см2): , (4) Укажем, что для удобства вычислений обычно строят эпюру секториальных координат w в соответствии с принятым для них правилом знаков, на которой их значения откладывают по нормам, а их знак зависит от расположения главной секториальной нулевой точки М0. Очевидно, что в (1) и (2) Iw - секториальный момент инерции (размерность см6, м6): , который, как известно, является геометрической характеристикой сечения, аналогичной осевым моментам инерции Ix и Iy; Мw - изгибно-крутящий момент, соответствующий напряжениям tw из (2). В сумме с моментом чистого кручения М0 они создают в сечении стержня внутренний крутящий момент Мкр, который уравновешивает момент внешних сил Мz: Мz = Мкр = Мw + М0, (5) в котором . (6) Кроме обозначенных выше величин тонкостенного стержня, в (2) Sw - секториальный статический момент сечения (размерность см4, м4): , Из рассмотрения (4) и (6) следует: , поэтому Вw и Мw и, как следствие, sw и tw не могут быть определены без вычисления угла закручивания Q = f(z), что является характерной особенностью расчета тонкостенных стержней открытого профиля, работающих в условиях стесненного кручения. Для определения Q = f(z) подставим в (5) значение (6): , (7) а далее, с учетом первой производной от (7), получим уравнение угла закручивания: , где k - изгибно-крутильная характеристика стержня (размерность см-1, м-1): , а m - распределенный внешний крутящий момент. Потенциальная энергия внутренних сил выражается через напряжения σ и τ из (1) и (2) равенством , которое, после преобразований, принимает вид (8) где , входящие в (8), равны: . (9) Для симметричных профилей, если сечение тонкостенного стержня симметрично относительно оси х, в (8) Kxy = Kyw = 0. Если осью симметрии является ось у, то Kxy = Kхw = 0. Если же сечение симметрично относительно обеих главных осей, то Kxy = Kхω = Kyω = 0. Пусть ξ, η, ζ - перемещения точек линии центров изгиба стержня в направлении осей x, y и z. Учитывая известные зависимости и подставляя их в (8), получим (10) Далее получим дифференциальные уравнения изгиба и кручения тонкостенного стержня открытого профиля с учётом сдвига срединной поверхности. Пусть на стержень действует распределённая нагрузка qx(z), qy(z), qz(z), не изменяющая своего направления в процессе деформирования стержня. Тогда работа внешних сил будет . (11) После чего функционал полной энергии с учетом (10) и (11) примет вид . (12) Из условия экстремума функционала полной энергии системы (12) уравнения изгиба и кручения в перемещениях будут выглядеть следующим образом: . (13) Подставляя в (13) выражения (10) и (11), получим дифференциальные уравнения изгиба и кручения тонкостенного стержня открытого профиля с учетом сдвига срединной поверхности [5]: (14) в которых, согласно (3) и (6), L = H + Mw, Полагая в уравнениях (14) Kxx, Kyy, Kxy, Kxω, Kyω равными нулю, получим уравнения без учёта сдвига срединной поверхности, приведенные в [6]. Из уравнений (14) следует, что задачи об изгибе и кручении стержней с учётом сдвига срединной поверхности являются связанными. Если в некоторых случаях задача о кручении может быть решена независимо от задачи об изгибе, то решение задачи об изгибе невозможно без решения задачи о кручении [5]. Выполним оценку вклада сдвига срединной поверхности тонкостенного стержня открытого профиля в его «динамический портрет», для чего воспользуемся известным решением С. П. Тимошенко [7], которое относится лишь к поперечным колебаниям призматических стержней с симметричным профилем, при этом колебания тонкостенного стержня будем рассматривать только в плоскости симметрии. Уравнение поперечных колебаний С. П. Тимошенко [7], записанное с учётом поперечной силы и инерции вращения, является частным случаем общего решения [8], следуя которому запишем третье уравнение системы (6) из [8]: , (15) в котором координаты центра изгиба ax и ay, а также коэффициент Кху из выражения (10) равны нулю. Решение однородного уравнения (15), при однородных граничных условиях, которое определяет собственные числа и собственные функции краевой задачи о свободных изгибных колебаниях стального тонкостенного стержня открытого профиля (r = 7,85 т/м3), представим в виде . (16) После подстановки (16) в (15) получаем , (17) в котором (18) Решение (17) ищем в виде (19) После подстановки (19) в (17), с учетом (18) получим характеристическое уравнение , (20) соответствующее дифференциальному уравнению (17) и имеющее четыре корня: , в которых (21) Следовательно, общее решение (17), с учетом (19) и (21), примет вид . На основе решения выражений(16)-(21) рассмотрим консольный стальной широкополочный двутавр, для которого использование граничных условий , приводит уравнение (20) к трансцендентному уравнению относительно его собственной круговой частоты w, рад/с, , (22) где, с учетом (9), Для частного случая, когда не учитываются сдвиг и инерция поворота (К1 = 0, Кхх = 0), и, кроме того, в (21) , где К принимается по (18), уравнение (22) принимает известный из [7] вид ch (al) cos (al) = -1, наименьший корень которого al = 1,8751. Отсюда находим частоту w первого тона: . (23) Для широкополочного двутавра с параметрами длины l = 0,6 м, b = h = 12 см, dnолки = dстенки = 1 см, у которого А = 34 см2, Ix = 809 см4 (ось х параллельна полкам), Е = 2,1×105 МПа, GId = 10,9 кН×м2, r = 7,85 т/м3, решение выражения (22), с учетом сдвига срединной поверхности с применением Mathcad [9], привело к собственной частоте первого тона w1 = 2142 с-1, в то время как без учета сдвига по (23) w1 = 2464 с-1. Таким образом, учет сдвигов срединной поверхности в тонкостенных стержнях открытого профиля даёт уменьшение частоты первого тона колебаний на 13 %, что, по нашему мнению, не рекомендуется считать неучитываемым фактором для динамических систем. Кроме того, уравнения изгиба и кручения (14) позволяют строить матрицы жесткости [К] и масс [М] тонкостенного стержня открытого профиля, которые легко встраиваются в любой вычислительный комплекс, реализующий расчет пространственных конструкций по МКЭ. Матрица жесткости [К]14´14 тонкостенного стержня jk открытого профиля, с учетом сдвига срединной поверхности, имеет вид . (24) Деформации конечного элемента будем определять перемещениями граничных поперечных сечений узлов j и k в виде вектора перемещений в местной системе координат (МСК) Оxyz, которая на рис. 2 не совпадает с общей системой координат ОXYZ: . (25) Очевидно, что в (25) Т - индекс транспонирования; dx(y,z) - линейные перемещения узла; jx(y) - углы поворота; - депланация (производная от угла закручивания ); подстрочные индексы x, y и z в выражении (25) обозначают оси МСК; надстрочные индексы (j) и (k) указывают на начало j и конец k стержневого КЭ. Знаки компонент узловых перемещений (25) для стержневого КЭ определяются в соответствии с рис. 2. Рис. 2. Правило знаков для узловых перемещений КЭ jk в МСК Оxyz Вектору перемещений (25) соответствует вектор внутренних усилий в дискретных граничных узлах: , (26) где и - внутренние поперечные и продольная силы; и - изгибающие и крутящий моменты; B - изгибно-крутящий бимомент. Правила знаков для внутренних усилий (26) аналогичны правилу знаков для узловых перемещений КЭ (25). Как следует из вектора (26) и рис. 2, стержневой КЭ имеет 14 степеней свободы и его пространственное положение определяется вектором обобщенных координат (25). В качестве компонентов перемещений примем следующие аппроксимирующие функции Эрмита с учетом сдвига срединной поверхности [6]: (27) в которых qs - узловое перемещение, соответствующее вектору (25); s = 1,14 - степени свободы КЭ. Таким образом, для стержневого КЭ с двумя осями симметрии, жестко защемленного по концам, в (27) следует принять: (28) где . При выводе выражений (28) использовались результаты из [10], согласно которым функции y6,i(z), y7,i(z), y13,i(z), y14,i(z), (i = x, y, w) являются приближенными. Используя выражения (28), любой элемент матрицы жесткости тонкостенного стрежня открытого профиля (24) в местной системе координат при пространственном деформировании с учетом сдвига срединной поверхности определяется по формуле в которой V - потенциальная энергия деформации (8), для определения которой использована формула (2). Очевидно, что если в выражении (28) устранить влияние сдвига, то функции Эрмита примут более простой вид [10]: (29) Ниже, с учетом , приведены элементы матрицы жесткости (24) КЭ jk, учитывающие сдвиг срединной поверхности, при определении которых в первом приближении касательные напряжения в выражении (2) равны нулю. (30) где . (31) Для оценки решения (30) сравним значение коэффициента матрицы , полученного с применением функции и из (29), с точным решением, полученным на основе (28). Точное решение, полученное на основе [10], вычисляется по формуле , (32) где . Приближенное решение для выражения (32) имеет вид (см. (30)): . (33) Вычислим для стержневого элемента длиной l = 0,6 м с поперечным сечением в виде широкополочного двутавра с размерами b = h = 12 см, δnолки = δcтенки = 1 см, у которого А = 34 см2,Ix = 809 см4 (ось х параллельна полкам), Iω = 8700 см6, Е = 2,1·105 МПа, GId = 10,9 кН×м2. Предварительно по (9) вычисляем: Kxx = 3,33; Kωω = 0,0562 см-2 = 562 м-2. Для рассматриваемого двутавра точное решение по выражению (32) дало: = -28,13 кН×м, приближенное решение по (33): = -28,28 кН×м. Расхождение составило 0,53 %. Кроме того, с помощью матрицы (31) были определены перемещения свободного конца консольного стержня при плоском поперечном изгибе (рис. 3). Рис. 3. Поперечный изгиб консольного стержня Прогиб и угол поворота (рис. 3) в символьном виде равны: что совпало с известным решением, приведенным в [10]. Для рассмотренного ранее стержня двутаврового профиля (при l = 0,6 м) характеристика Ах = 1,807 (32) и прогиб конца консоли . По сравнению с прогибом без учета деформацией сдвига прибавка составила 16,6 %. В заключение укажем, что, по нашему мнению, матрица жесткости (24), представленная компонентами (30), легко встраивается по алгоритму МКЭ в любой программный конечно-элементный комплекс с целью как статического , так и динамического расчетного анализа пространственных металлических конструкций, составленных из тонкостенных стержней открытого профиля с n степенями свободы: (34) для практической реализации которого, очевидно, необходимо получить для выражения (34) матрицу масс [М]n´n, составленную из матриц масс отдельных jk КЭ [3]. Заключение Несмотря на достаточно давно разработанные основные положения теории тонкостенных стержней, в расчетной практике они применяются редко. Использование математической модели тонкостенных стержней открытого профиля при проведении расчетного анализа пространственных конструкций из тонкостенных стержней как в области как статического, так и динамического нагружения приводит к уточнению получаемых результатов при описании их жесткостных характеристик, а также при определении напряженно-деформированного состояния. Приведенные в статье формулы для матрицы жесткости тонкостенного КЭ позволяют использовать математическую модель тонкостенного стержня открытого профиля при расчетах любых пространственных конструкций с использованием МКЭ.